Analyse
Le cours d'analyse du semestre 2, sous la responsabilité de Mouez Dimassi, commence par les séries numériques (séries à termes positifs, critères de comparaison, de d'Alembert et de Cauchy, convergence absolue). Il construit ensuite l'intégrale d'une fonction continue à partir des fonctions en escalier, jusqu'au théorème fondamental de l'analyse, au changement de variable et à l'intégration par parties, puis établit les formules de Taylor (reste intégral, Taylor-Lagrange, Taylor-Young) et les sommes de Riemann. Une partie est consacrée à l'étude des arcs paramétrés : tangentes, points singuliers, branches infinies et plan d'étude. Le semestre se termine par le dénombrement, les probabilités sur un univers fini, les variables aléatoires discrètes et les lois usuelles (uniforme, Bernoulli, binomiale). Les énoncés des exercices de travaux dirigés figurent sur une dernière page.
Notes de cours
Cours9 pages
- Séries numériquesConvergence, condition nécessaire, séries à termes positifs, théorèmes de comparaison et d'équivalence, séries de Riemann, critères de d'Alembert et de Cauchy, convergence absolue et série géométrique.
- Intégrale d'une fonction continueSubdivisions, fonctions en escalier, définition et propriétés de l'intégrale, primitives, théorème fondamental de l'analyse, changement de variable, théorème de la moyenne, intégration par parties et primitives usuelles.
- Formule de TaylorFormules de Taylor : fonctions de classe C^k, formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange, formule de Taylor-Lagrange pour les fonctions à valeurs réelles, formule de Taylor-Young et application à ln(1 + x).
- Sommes de RiemannDéfinition, fonctions lipschitziennes, convergence vers l'intégrale et majoration de l'erreur, sommes à gauche et à droite, méthode des trapèzes et exercice d'application.
- Arcs paramétrésNormes de R², fonctions vectorielles, limite, continuité et dérivabilité, points doubles, tangentes en un point régulier et singulier, branches infinies, symétries, plan d'étude et exemple complet.
- DénombrementEnsembles finis, complémentaire, produit cartésien et cardinal, nombre de parties, p-listes, arrangements, permutations, combinaisons, formule du binôme et tirages avec ou sans remise.
- Probabilités sur un univers finiÉpreuve, univers et événements, définition d'une probabilité, équiprobabilité, partitions, indépendance, probabilités conditionnelles et théorème de Bayes.
- Variables aléatoires discrètesDéfinition, loi, fonction de répartition, espérance, variance et écart type, variable centrée réduite, inégalité de Tchebychev et exercice de tirage sans remise.
- Lois discrètes usuellesVariables aléatoires indépendantes, loi uniforme, loi de Bernoulli et loi binomiale, avec leurs espérances et variances.
Travaux dirigés1 page
- Travaux dirigésÉnoncés des exercices de travaux dirigés d'analyse : séries numériques, intégrales et primitives, formule de Taylor, sommes de Riemann, arcs paramétrés, dénombrement, probabilités et variables aléatoires.
Ressources
Notes de TD1 document
Page de l'enseignant1 document