Algèbre
Le cours d'algèbre du semestre 2, sous la responsabilité d'Eric Charpentier, commence par l'arithmétique des polynômes : division euclidienne, PGCD et PPCM, algorithme d'Euclide, lemme de Gauss, racines, polynômes irréductibles et décomposition en facteurs irréductibles, jusqu'aux formules de Viète. Il construit ensuite le corps des fractions rationnelles et établit leur décomposition en éléments simples. La seconde moitié est consacrée à l'algèbre linéaire : espaces vectoriels, familles libres et génératrices, bases et dimension, applications linéaires, noyau, image et théorème du rang, projecteurs, symétries et hyperplans, puis le calcul matriciel (matrice d'une application linéaire, changement de base, trace), les déterminants et la résolution des systèmes linéaires par les formules de Cramer et la méthode du pivot.
Notes de cours
Cours7 pages
- PolynômesPolynôme formel, anneau K[X], degré, division euclidienne, PGCD, PPCM, algorithme d'Euclide, Bézout, lemme de Gauss, formule de Taylor, racines, polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles et formules de Viète.
- Fractions rationnellesDéfinition comme classes d'équivalence, opérations, corps K(X), degré, partie entière, théorème de décomposition en éléments simples dans C(X) et R(X), partie polaire et calcul des coefficients.
- Espaces vectorielsDéfinition et exemples, sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré, sommes et intersections, familles libres, liées et génératrices, bases, théorème de la base incomplète, dimension, relation de Grassmann et sous-espaces supplémentaires.
- Applications linéairesDéfinition et exemples, espace L(E, F) et sa dimension, composition, isomorphismes, noyau et image, rang, théorème du rang, homothéties, projecteurs et symétries, hyperplans et espace dual.
- MatricesOpérations, espace et algèbre des matrices, matrices inversibles, matrice d'une application linéaire, composition, matrice de passage et changement de base, matrices équivalentes et semblables, transposée, matrices symétriques et antisymétriques, trace.
- DéterminantsDéfinition par multilinéarité et alternance, propriétés, déterminant d'un produit et de l'inverse, déterminant d'un endomorphisme et d'une famille, interprétation géométrique, critère d'inversibilité, développement selon une ligne ou une colonne, comatrice et matrices triangulaires.
- Systèmes linéairesÉcritures matricielle et vectorielle, structure de l'ensemble des solutions, rang, systèmes de Cramer et formules de Cramer, méthode du pivot, inversion d'une matrice par le pivot et par la comatrice.
Ressources
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