Probabilités sur un univers fini

Épreuve

Définition. On dit qu'une expérience ou une épreuve est aléatoire si on obtient des résultats différents lorsqu'on répète les mêmes expériences avec les mêmes données.

Exemple.

• Lancer une pièce de monnaie.
• Tirage d'une carte parmi 32 cartes.

Ensemble des éventualités (ou univers)

Définition. Considérons une épreuve aléatoire. L'ensemble des éventualités de cette épreuve est l'ensemble des résultats possibles. On note cet ensemble $\Omega$.

Exemple.

• Lancer une pièce de monnaie une fois : $\Omega = \{\text{Pile}, \text{Face}\}$
• Lancer une pièce de monnaie deux fois : $\Omega = \{(\text{Pile}, \text{Face}), (\text{Pile}, \text{Pile}), (\text{Face}, \text{Pile}), (\text{Face}, \text{Face})\}$
• Le cardinal d'une telle expérience est $\text{card}(\Omega) = 2^k$.

Définition. Soit $\Omega$ l'espace des éventualités associé à une épreuve aléatoire. On note $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble des parties de $\Omega$. Chaque élément de $\mathcal{P}(\Omega)$ (c'est-à-dire chaque partie de $\Omega$) est appelé un événement.

Exemple. Si on lance une pièce de monnaie 3 fois, $A = \{(P, P, F), (P, P, P)\}$ est un événement.

Événements particuliers.

1. $\emptyset$ est appelé événement impossible.

2. $\Omega$ est appelé événement certain.

3. Soient $A$ et $B$ deux parties de $\Omega$ ; $A$ et $B$ sont incompatibles si

   $$A \cap B = \emptyset$$

4. Chaque partie de $\Omega$ constituée d'un seul élément est appelée événement élémentaire (un événement élémentaire est une éventualité).

Probabilité finie

Définition. Soit $\Omega$ un univers et $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble des événements de $\Omega$. Une probabilité $p$ est une application de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $[0, 1]$ qui vérifie les propriétés suivantes :

$$p : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$$

1. $p(\emptyset) = 0$, $p(\Omega) = 1$
2. $\forall A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ tels que $A \cap B = \emptyset$, on a $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$

Le triplet $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ est appelé espace de probabilité.

Corollaire. Si $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ est un espace de probabilité, alors $\forall A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{P}(\Omega)$ tels que $A_i \cap A_j = \emptyset$, $i \neq j$, on a :

$$p\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} p(A_i)$$

Démonstration par récurrence. Par hypothèse, pour $A_1, A_2$ tels que $A_1 \cap A_2 = \emptyset$, on a $p(A_1 \cup A_2) = p(A_1) + p(A_2)$. Supposons que $p(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = p(A_1) + p(A_2) + \dots + p(A_n)$ ; alors $p(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n \cup A_{n+1}) = p(A_1) + \dots + p(A_n) + p(A_{n+1})$. L'hypothèse de récurrence est vraie pour $n + 1$.

Théorème VII.1. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. Soient $A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ ; alors on a :

1. $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
2. $p(\Omega \setminus A) = 1 - p(A)$
3. Si $A \subset B \Rightarrow p(A) \leq p(B)$

Démonstration.

1. $A \cup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \cup (A \cap B)$

   $$\begin{aligned} &\Leftrightarrow p(A \cup B) = p(A \setminus B) + p(B \setminus A) + p(A \cap B) \\ &\Leftrightarrow A = (A \setminus B) \cup (A \cap B) \text{ et } B = (B \setminus A) \cup (A \cap B) \\ &\Leftrightarrow p(A) = p(A \setminus B) + p(A \cap B) \text{ et } p(B) = p(B \setminus A) + p(A \cap B) \end{aligned}$$

   Donc $p(A \cup B) = (p(A) - p(A \cap B)) + p(B) - p(A \cap B) + p(A \cap B)$.

2. $\Omega = (\Omega \setminus A) \cup A$, $(\Omega \setminus A) \cap A = \emptyset$

   $$\Leftrightarrow p(\Omega) = p(\Omega \setminus A) + p(A) = 1 \Rightarrow p(\Omega \setminus A) = 1 - p(A)$$

3. Si $A \subset B$, alors $B = A \cup (B \setminus A)$ et on a $A \cap (B \setminus A) = \emptyset$ :

   $$p(B) = p(A) + p(B \setminus A) \geq p(A) \quad \text{car } \forall c \in \mathcal{P}(\Omega), p(c) \geq 0$$

Équiprobabilité

Définition. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. On dit que deux événements élémentaires sont équiprobables si $p(\{a_1\}) = p(\{a_2\})$.

Théorème VII.2. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité tel que tous les événements élémentaires sont équiprobables (on rappelle que $\Omega$ est un ensemble fini). Alors on a :

1. $\forall a \in \Omega$, $p(\{a\}) = \dfrac{1}{\text{card}(\Omega)}$
2. $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega)$, $p(A) = \dfrac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$

Démonstration. $\Omega = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$, alors

$$p(\Omega) = p\left(\bigcup_{i=1}^{n} \{a_i\}\right) = \sum_{i=1}^{n} p(\{a_i\}) = 1 = n\,p(\{a_i\}) \quad \text{car } p(\{a_i\}) = p(\{a_j\}), \forall i, j$$

$$\Rightarrow p(\{a_i\}) = \frac{1}{n} = \frac{1}{\text{card}(\Omega)}$$

Soit $A = \{a_1, a_2, \dots, a_k\} \subset \Omega$ et $p(A) = p(\{a_1, a_2, \dots, a_k\}) = \displaystyle\sum_{i=1}^{k} p(\{a_i\}) = k\,p(\{a_i\}) = \frac{k}{n} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

Partition

Définition. Soit $\Omega$ un univers et $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'événements. On dit que la famille $(A_i)_{i \in I}$ est une partition de $\Omega$ si et seulement si :

1. $A_i \cap A_j = \emptyset, \forall i \neq j$
2. $\displaystyle\bigcup_{i \in I} A_i = \Omega$

Exemple. L'ensemble des événements élémentaires d'un univers $\Omega$ est une partition de $\Omega$ : $\Omega = \{a_1, a_2, \dots, a_n\} = \displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} \{a_i\}$.

Théorème VII.3. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. Soit $(A_i)_{i \in I}$ une partition de $\Omega$. Soit $B \in \mathcal{P}(\Omega)$. On a : $p(B) = \displaystyle\sum_{i \in I} p(A_i \cap B)$.

Démonstration. $\displaystyle\bigcup_{i \in I} A_i = \Omega \Rightarrow B \cap \left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = B = \bigcup_{i \in I} (B \cap A_i)$. Or $(B \cap A_i) \cap (B \cap A_j) = B \cap (A_i \cap A_j) = \emptyset$ si $i \neq j$, donc

$$p(B) = p\left(\bigcup_{i \in I} (A_i \cap B)\right) = \sum_{i \in I} p(A_i \cap B)$$

Exercice. On lance $n$ fois une pièce de monnaie.

1. Déterminer l'univers $\Omega$ associé à cette expérience aléatoire.
2. Calculer la probabilité d'avoir au moins une fois pile.

Solution.

1. $E = \{P, F\}$, $\Omega = E \times E \times \dots \times E = \{(a_1, a_2, \dots, a_n), a_i = P \text{ ou } a_i = F\}$.

   $$\text{card}(\Omega) = \overbrace{\text{card}(E) \times \text{card}(E) \times \dots \times \text{card}(E)}^{n \text{ fois}} = 2^n$$

   Les événements élémentaires sont équiprobables. Si $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \Omega$, $a_i \in \{P, F\}$, $p(\{a_1, \dots, a_n\}) = \dfrac{1}{2^n}$.

2. Soit $A = \{\text{avoir au moins une fois pile}\}$. $\Omega \setminus A = \{\text{n'avoir aucun pile}\} = \{(F, F, \dots, F)\}$.

   $$p(\Omega \setminus A) = p(\{(F, F, \dots, F)\}) = \frac{1}{2^n} \Leftrightarrow p(A) = 1 - p(\Omega \setminus A) = 1 - \frac{1}{2^n}$$

Indépendance

Définition. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. Soient $A, B$ deux événements. On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.

Probabilités conditionnelles

Théorème VII.4. Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. Soit $B \in \mathcal{P}(\Omega)$ ; on suppose $p(B) \neq 0$. On définit sur $\Omega$ une probabilité, notée $p_B$, par :

$$p_B : \begin{cases} \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1] \\ A \to p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} \end{cases}$$

$p_B(A)$ est appelée la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

Démonstration. Il faut démontrer que $p_B$ est bien une probabilité.

1. $p_B(\emptyset) = \dfrac{p(\emptyset \cap B)}{p(B)} = 0$
2. $p_B(\Omega) = \dfrac{p(B \cap \Omega)}{p(B)} = 1$
3. Pour $C \cap D = \emptyset$ : $p_B(C \cup D) = \dfrac{p((C \cup D) \cap B)}{p(B)} = \dfrac{p((C \cap B) \cup (D \cap B))}{p(B)}$
4. $p_B(C \cup D) = \dfrac{p(C \cap B)}{p(B)} + \dfrac{p(D \cap B)}{p(B)} = p_B(C) + p_B(D)$

Propriétés.

1. Si $A \subset B$, $p_B(A) = \dfrac{p(A)}{p(B)}$
2. Si $B \subset A$, $p_B(A) = \dfrac{p(B)}{p(B)} = 1$

Théorème VII.5 (Théorème de Bayes). Soit $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), p)$ un espace de probabilité. Soient $A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ tels que $p(B) \neq 0$ et $p(A) \neq 0$.

$$p(A)\,p_A(B) = p(B)\,p_B(A)$$

Démonstration. $p_A(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ et $p_B(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$, ainsi $p(A \cap B) = p(A)\,p_A(B) = p(B)\,p_B(A)$.

Remarque. Soit $\Omega$ un univers et $p : \Omega \begin{cases} \{x_1, x_2, \dots, x_n\} \to [0, 1] \\ x_i \to a_i \end{cases}$ une application. Pour que $p$ soit une probabilité sur $\Omega$, il faut et il suffit que :

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = 1$$

En effet, $p(\Omega) = p(\{x_1, x_2, \dots, x_n\}) = a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1$. Ensuite, si $A \subset \Omega$, alors $A$ est une union disjointe de $\{x_1\}, \dots, \{x_k\} \Rightarrow p(A) = p(\{x_1\}) + \dots + p(\{x_k\})$.

Exemple. $\Omega = \{P, F\}$, $p : \begin{cases} \Omega \to [0, 1] \\ P \to \frac{1}{4} \\ F \to \frac{1}{2} \end{cases}$. Comme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \neq 1$, $p$ n'est pas une probabilité sur $\Omega = \{P, F\}$.