Intégrale d'une fonction continue

Subdivision

Définition. Soit un segment $[a, b]$. On appelle subdivision de ce segment toute suite finie

$$a = a_0 < a_1 < a_2 < \dots < a_{n-1} < a_n = b$$

Le pas de cette subdivision est le plus grand des $a_{i+1} - a_i$. Soient $\sigma$ et $\sigma'$ deux subdivisions de $[a, b]$. On dit que $\sigma'$ est plus fine que $\sigma$ si pour chaque $i$, on peut trouver $j$ tel que $b_j = a_i$, autrement dit si $\sigma'$ découpe plus l'intervalle $[a, b]$ que ne le fait $\sigma$.

Propriétés. L'union de deux subdivisions est une subdivision.

Fonction en escalier

Définition. Soit $[a, b]$ un intervalle et $f : [a, b] \to \mathbb{C}$. On dit que $f$ est une fonction en escalier si et seulement s'il existe une subdivision $\sigma = (a_0, a_1, \dots, a_n)$ de $[a, b]$ telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle $]a_i, a_{i+1}[$, $i = 0, \dots, n-1$.

Propriété. Toute fonction en escalier est bornée car $f$ prend un nombre fini de valeurs (les constantes sur chaque intervalle et $f(a_0), f(a_1), \dots, f(a_n)$).

Notation. Soit $[c, d]$ un intervalle. On note $1_{[c,d]}$ la fonction définie par :

$$1_{[c,d]} : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \to 1_{[c,d]}(x) = 1 \text{ si } x \in [c, d] \end{cases} \quad \text{et} \quad \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ 1_{[c,d]}(x) = 0 \text{ si } x \notin [c, d] \end{cases}$$

$1_{[c,d]}$ est appelée la fonction indicatrice de l'intervalle $[c, d]$. Si $\sigma = (a_0, \dots, a_n)$ est une subdivision de $[a, b]$, alors toute fonction en escalier $f$ s'écrit sous la forme :

$$f(x) = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i 1_{[a_i, a_{i+1}]}(x)$$

Exemple. $f(x) = 1_{[0,1]}(x) + 1_{]1,2]}(x)$.

$$f(x) = 1_{[0,3]}(x) + 2 \cdot 1_{]1,2]}(x) + 4 \cdot 1_{]2,3]}(x) = \begin{cases} \text{si } x \in (0, 1) : f(x) = 1 \\ \text{si } x \in (1, 2) : f(x) = 3 \\ \text{si } x \in (2, 3) : f(x) = 5 \end{cases}$$

Ainsi $f(x) = 1_{[0,1]}(x) + 3 \cdot 1_{]1,2]}(x) + 5 \cdot 1_{]2,3]}(x)$. Donc $f$ est une fonction en escalier sur $[0, 3]$.

Intégrale d'une fonction continue

Unité d'aire. Dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$, l'unité d'aire $(U, a)$ est l'aire du rectangle.

Définition. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On appelle intégrale de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ l'aire de la partie du plan $E$ située entre la courbe $C_f$ et l'axe des abscisses. On la note $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \text{aire}(E)$, avec $E = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2, 0 \leq y \leq f(x), x \in [a, b]\right\}$.

Propriétés. Soient $f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. On a :

1. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$
2. $\displaystyle\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$
3. $\displaystyle\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx, \forall c \in [a, b]$

Intégrale d'une fonction continue négative

Définition. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue et négative. On définit l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ par :

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_a^b |f(x)|\,dx$$

Théorème II.1. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On pose :

$$\begin{cases} f_+ : x \to \dfrac{f(x) + |f(x)|}{2} \\ f_- : x \to \dfrac{f(x) - |f(x)|}{2} \end{cases}$$

On a :

1. Les fonctions $f_+$ et $f_-$ sont continues sur $[a, b]$.
2. $f_+(x) \geq 0, \forall x \in [a, b]$
3. $f_-(x) \leq 0, \forall x \in [a, b]$
4. $f(x) = f_+(x) + f_-(x), \forall x \in [a, b]$
5. $f_+(x) = \max(f(x), 0), \forall x \in [a, b]$
6. $f_-(x) = \min(f(x), 0), \forall x \in [a, b]$

Démonstration.

1. $f(x)$ est continue par hypothèse, donc $|f(x)|$ est continue. Donc $f_+(x)$ et $f_-(x)$ sont continues.

2. $a \leq |a|$ et $-a \leq |a|$

   $$\Rightarrow f(x) \leq |f(x)| \text{ et } -f(x) \leq |f(x)| \Rightarrow \frac{f(x) - |f(x)|}{2} \leq 0 \text{ et } \frac{|f(x)| + f(x)}{2} \geq 0 \Rightarrow f_+(x) \geq 0 \text{ et } f_-(x) \leq 0$$

3. $a \leq |a|$ et $-a \leq |a|$

   $$\Rightarrow f(x) \leq |f(x)| \text{ et } -f(x) \leq |f(x)| \Rightarrow \frac{f(x) - |f(x)|}{2} \leq 0 \text{ et } \frac{|f(x)| + f(x)}{2} \geq 0 \Rightarrow f_+(x) \geq 0 \text{ et } f_-(x) \leq 0$$

4. $f_+(x) + f_-(x) = \dfrac{|f(x)| + f(x)}{2} + \dfrac{f(x) - |f(x)|}{2} = f(x)$

5. $f_+(x) = \dfrac{|f(x)| + f(x)}{2} = \max(f(x), 0)$

6. $f_-(x) = \dfrac{f(x) - |f(x)|}{2} = \min(f(x), 0)$

Définition. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$, l'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est par définition :

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b \max(f(x), 0)\,dx + \int_a^b \min(f(x), 0)\,dx$$

On appelle l'intégrale d'une fonction l'aire algébrique d'une fonction.

Théorème II.2. Soient $f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. On a :

1. $\displaystyle\int_a^b \alpha f(x) + \beta g(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx$
2. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx, \forall c \in [a, b]$
3. Si $f(x) \leq g(x), \forall x \in [a, b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$
4. $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
5. $\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$
6. $\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq (\sup|f(x)|)\,|b - a|$
7. Si $f(x) \geq 0$ et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 0$, alors $f(x) = 0, \forall x \in [a, b]$

Démonstration.

1. Résulte de la définition des intégrales.

2. Résulte de la définition des intégrales.

3. Si $g(x) - f(x) \geq 0 \Rightarrow \displaystyle\int_a^b (g(x) - f(x))\,dx \geq 0$

   $$\Rightarrow \int_a^b g(x) - f(x)\,dx = \int_a^b g(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx \geq 0 \Rightarrow \int_a^b g(x)\,dx \geq \int_a^b f(x)\,dx$$

4. D'après (2) : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^a f(x)\,dx = 0$.

5. Comme $f(x) \leq |f(x)|$ et $-f(x) \leq |f(x)|$, alors d'après (3), $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$ et $\displaystyle-\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$, donc $\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$.

6. $\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx \leq \int_a^b \sup|f(x)|\,dx = \sup|f(x)| \int_a^b dx = (b - a) \sup|f(x)|$

7. Supposons $\exists x_0 \in [a, b]$ tel que $f(x_0) \neq 0$. Comme $f$ est continue en $x_0$, pour $\epsilon = \dfrac{f(x_0)}{2}$, $\exists \eta > 0$, $|x - x_0| < \eta \Rightarrow -\dfrac{f(x_0)}{2} \leq f(x) - f(x_0) \leq \dfrac{f(x_0)}{2}$, donc $\exists \eta > 0, |x - x_0| < \eta, \dfrac{f(x_0)}{2} \leq f(x)$, et

   $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^{x_0 - \eta} f(x)\,dx + \int_{x_0 - \eta}^{x_0 + \eta} f(x)\,dx + \int_{x_0 + \eta}^{b} f(x)\,dx \geq \int_{x_0 - \eta}^{x_0 + \eta} f(x)\,dx \geq \frac{f(x_0)}{2} \int_{x_0 - \eta}^{x_0 + \eta} dx$$

   car $f(x) \geq 0$, soit $\dfrac{f(x_0)}{2}(x_0 + \eta - (x_0 - \eta)) = \eta f(x_0) > 0$. Ceci contredit l'hypothèse $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = 0$. Donc $\forall x \in [a, b], f(x) = 0$.

Primitives

Définition. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$. On dit que $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F'(x) = f(x), \forall x \in [a, b]$.

Théorème II.3. Si $F_1(x)$ et $F_2(x)$ sont deux primitives de $f : [a, b] \to \mathbb{R}$, alors il existe une constante $C$ telle que $F_1(x) = F_2(x) + C$.

Démonstration. On pose $G(x) = F_1(x) - F_2(x)$.

$$\begin{aligned} &G'(x) = F_1'(x) - F_2'(x) = f(x) - f(x) = 0, \forall x \in [a, b] \\ \Rightarrow\ &G'(x) = 0, \forall x \in [a, b], \text{ le théorème des accroissements finis} \Rightarrow G(x) = G(a), \forall x \in [a, b] \\ \Rightarrow\ &F_1(x) - F_2(x) = C(a) = \text{constante} \end{aligned}$$

Théorème II.4 (Théorème fondamental de l'analyse). Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On définit $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ et $x \to \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Alors $F$ est dérivable et $F'(x) = f(x), \forall x \in [a, b]$.

Démonstration. On fixe $x_0 \in ]a, b[$ :

$$\begin{aligned} \left|\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)\right| &= \left|\frac{\int_a^{x_0 + h} f(t)\,dt - \int_a^{x_0} f(t)\,dt}{h} - f(x_0)\right| \\ &= \left|\frac{\int_a^{x_0} f(t)\,dt + \int_{x_0}^{x_0 + h} f(t)\,dt - \int_a^{x_0} f(t)\,dt}{h} - f(x_0)\right| \\ &= \left|\frac{\int_{x_0}^{x_0 + h} f(t)\,dt - f(x_0) \int_{x_0}^{x_0 + h} dt}{h}\right| = \left|\frac{\int_{x_0}^{x_0 + h} [f(t) - f(x_0)]\,dt}{h}\right| \\ &\leq \sup|f(t) - f(x_0)| \to 0 \end{aligned}$$

$$\Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} = F'(x_0) = f(x_0)$$

Corollaire. Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue, alors $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$ et toute autre primitive de $f$ s'écrit :

$$\int_a^x f(t)\,dt + \text{cte}$$

Remarque. $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ s'appelle la primitive de $f(x)$ qui s'annule en $x = a$.

Théorème II.5 (Théorème de changement de variable). Soit $\Phi : [a, b] \to \mathbb{R}$ dérivable et $f : [c, d] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose que $\Phi([a, b]) \subset [c, d]$. Alors :

$$\int_{\Phi(a)}^{\Phi(x)} f(t)\,dt = \int_a^x f \circ \Phi(t)\, \Phi'(t)\,dt, \quad \forall x \in [a, b]$$

En particulier :

$$\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)} f(t)\,dt = \int_a^b f \circ \Phi(t)\, \Phi'(t)\,dt$$

Remarque : l'hypothèse $\Phi([a, b]) \subset [c, d]$ assure que la fonction $f \circ \Phi(t)$ est bien définie.

Démonstration. On pose $F(x) = \displaystyle\int_{\Phi(a)}^{\Phi(x)} f(t)\,dt$ et $G(x) = \displaystyle\int_a^x f \circ \Phi(t)\, \Phi'(t)\,dt$. Soit $K(x) = \displaystyle\int_{\Phi(a)}^{x} f(t)\,dt$, $K'(x) = f(x)$.

$$\begin{aligned} &F(x) = K(\Phi(x)) \\ &F'(x) = K'(\Phi(x))\,\Phi'(x) = f(\Phi(x))\,\Phi'(x) \\ &G'(x) = f \circ \Phi(x) \cdot \Phi'(x) \Rightarrow F'(x) = G'(x), \forall x \in [a, b] \Rightarrow F(x) = G(x) + \text{cte} \Rightarrow \text{cte} = 0 \text{ comme } F(a) = G(a) = 0 \end{aligned}$$

Donc $F(x) = G(x), \forall x \in [a, b]$.

Théorème II.6 (Théorème de la moyenne). Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors $\exists c \in ]a, b[$ tel que :

$$\frac{1}{b - a} \int_a^b f(t)\,dt = f(c)$$

Démonstration. Soit $F : [a, b] \to \mathbb{R}$ et $x \to \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. On sait que $F$ est dérivable et $F'(x) = f(x)$. D'après le théorème des accroissements finis, $\exists c \in ]a, b[$ tel que :

$$\frac{F(b) - F(a)}{b - a} = F'(c) \quad \text{donc} \quad \frac{F(b) - F(a)}{b - a} = \frac{\int_a^b f(t)\,dt - \int_a^a f(t)\,dt}{b - a} = f(c) \Rightarrow \frac{1}{b - a} \int_a^b f(t)\,dt = f(c)$$

Théorème II.7. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ et $F$ une primitive de $f$. Alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a)$.

Démonstration. On sait que toute primitive de $f$ est de la forme $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt + \text{cte} \Rightarrow \exists$ une constante $c$ telle que $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt + c$.

$$F(b) - F(a) = \int_a^b f(t)\,dt + c - \left(\int_a^a f(t)\,dt + c\right) = \int_a^b f(t)\,dt$$

Remarque. $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ est indépendant de la variable $t$. On l'appelle variable muette.

Théorème II.8 (Théorème de l'intégration par parties). Soient $f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ deux fonctions dérivables. On a :

$$\int_a^b f(x) g'(x)\,dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx$$

Démonstration. Comme $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$, alors $f(x)g(x)$ est une primitive de $f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$. Donc $\displaystyle\int_a^b f'(x)g(x) + g'(x)f(x)\,dx = f(b)g(b) - f(a)g(a)$.

Théorème II.9. Soient $\phi : [a, b] \to \mathbb{R}$ dérivable et $f : [c, d] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On suppose que $\phi([a, b]) \subset [c, d]$. On définit $G(x) = \displaystyle\int_c^{\phi(x)} f(t)\,dt$. Alors $G$ est dérivable et on a $G'(x) = f \circ \phi(x) \cdot \phi'(x), \forall x \in [a, b]$.

Démonstration. On pose $F(x) = \int_c^x f(t)\,dt$, donc $G(x) = F \circ \phi(x)$. L'hypothèse $\phi([a, b]) \subset [c, d]$ implique que la fonction $F \circ \phi$ est bien définie. Donc $G$ est dérivable car $F$ et $\phi$ sont dérivables :

$$G'(x) = (F \circ \phi)'(x) = F' \circ \phi(x) \cdot \phi'(x) = f \circ \phi(x) \cdot \phi'(x)$$

Primitives usuelles

Fonctions	Domaine	Primitives
$e^{ax}, a \neq 0$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{e^{ax}}{a} + \text{cte}$
$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$	$\ln(x)$
$\dfrac{1}{x}$	$x < 0$	$\ln(-x)$
$x^m, m \neq -1$	$x > 0$	$\dfrac{x^{m+1}}{m+1}$
$x^n, n \in \mathbb{Z}$	$x \in \mathbb{R}$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\cos(x)$	$x \in \mathbb{R}$	$\sin(x)$
$\sin(x)$	$x \in \mathbb{R}$	$-\cos(x)$
$\dfrac{1}{\cos^2(x)}$	$x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$	$\tan(x)$
$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$	$x \in$ domaine	$\ln\lvert u(x) \rvert$
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\lvert x \rvert < 1$	$\arcsin(x)$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$x \in \mathbb{R}$	$\arctan(x)$

Méthodes de calcul intégral

IPP. Voir maths spé, fonda ou outils maths.

Exemple : calculer les primitives de $x\cos(x)$ :

$$\int t\cos(t)\,dt = [t\sin(t)] - \int \sin(t)\,dt = x\sin(x) + \cos(x) + \text{cte}$$

Remarque : pour calculer les primitives de $x^n\cos(x)$ ou $x^n e^x$, on fait une IPP.

Décomposition en éléments simples. Voir maths fonda ou algèbre.

On veut calculer les primitives de $\dfrac{1}{(x - a)(x - b)}$. On cherche $A$ et $B$ tels que :

$$\frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$$

On trouve les coefficients en multipliant par $(x - \text{pôle})$.

On veut calculer la primitive de $f(x) = \dfrac{1}{\alpha x^2 + \beta x + \gamma}$, $\alpha \neq 0$.

• Si $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma > 0$, alors on peut écrire $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha(x - a)(x - b)$, donc $f(x) = \dfrac{1}{\alpha(x - a)(x - b)}$. On utilise les primitives de $\dfrac{1}{(x - a)(x - b)}$.

• Si $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma = 0$, alors $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha(x - a)^2$. Donc $f(x) = \dfrac{1}{\alpha(x - a)^2} \Rightarrow \displaystyle\int f(t)\,dt = -\frac{1}{\alpha(x - a)} + \text{cte}$.

• Si $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma < 0$, $f(x) = \dfrac{1}{\alpha x^2 + \beta x + \gamma}$. En général :

  $$\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\left(x^2 + \frac{\beta x}{\alpha} + \frac{\gamma}{\alpha}\right) = \alpha\left[\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 - \left(\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 + \frac{\gamma}{\alpha}\right] = \alpha\left[\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 + \frac{-\beta^2 + 4\alpha\gamma}{4\alpha^2}\right]$$

  On pose $A^2 = \dfrac{-\beta^2 + 4\alpha\gamma}{4\alpha^2}$ :

  $$\alpha x^2 + \beta x + \gamma = \alpha\left(\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 + A^2\right) = \alpha A^2\left[\left(\frac{1}{A}\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)\right)^2 + 1\right]$$

  Ainsi

  $$\int \frac{1}{\alpha t^2 + \beta t + \gamma}\,dt = \int \frac{1}{\alpha A^2\left[\frac{1}{A^2}\left(t + \frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 + 1\right]}\,dt = \frac{1}{\alpha A^2} \int \frac{1}{A^{-2}\left(t + \frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 + 1}\,dt$$

  Changement de variable $y = t + \dfrac{\beta}{2\alpha}$, $dy = dt$, puis $z = A^{-1}y$, $\dfrac{dz}{dy} = A^{-1}$ :

  $$\frac{1}{\alpha A^2} \int \frac{1}{A^{-2}y^2 + 1}\,dy = \frac{1}{\alpha A^2} \int \frac{1}{z^2 + 1} A\,dz = \frac{1}{\alpha A} \int^{\frac{1}{A}\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)} \frac{1}{z^2 + 1}\,dz = \frac{1}{\alpha A} \arctan\left(\frac{1}{A}\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)\right) + \text{cte}$$

Théorème II.10. Soit $f(x) = \dfrac{1}{\alpha x^2 + \beta x + \gamma}$ avec $\beta^2 - 4\alpha\gamma < 0$. Les primitives de $f$ sont :

$$\frac{1}{\alpha A} \arctan\left(\frac{1}{A}\left(x + \frac{\beta}{2\alpha}\right)\right) + \text{cte} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\sqrt{-\beta^2 + 4\alpha\gamma}}{2|\alpha|}$$