Calcul intégral
Le cours de calcul intégral du semestre 4, sous la responsabilité de Nicolas Popoff, commence par le calcul différentiel des fonctions vectorielles d'une variable réelle : continuité, dérivabilité, fonctions de classe et -difféomorphismes. Il construit ensuite l'intégrale de Riemann, d'abord pour les fonctions numériques puis pour les fonctions vectorielles, après une preuve de l'irrationalité de qui sert de motivation. Viennent les deux théorèmes fondamentaux du calcul intégral, l'intégration par parties, le changement de variables, l'inégalité des accroissements finis et les formules de Taylor. La deuxième partie traite des intégrales impropres : intégrales de référence, critères d'intégrabilité des fonctions positives, comparaison à une série, intégrabilité absolue et convergence dominée. La dernière partie aborde les intégrales dépendant d'un paramètre et les transformées de Fourier et de Laplace. Des fiches résument l'ensemble du cours.
Notes de cours
Cours7 pages
- Calcul différentiel des fonctions vectoriellesFonctions vectorielles d'une variable réelle : normes sur Rn, continuité, dérivabilité, dérivée d'une forme bilinéaire, fonctions de classe Ck, Ck-difféomorphismes et fonctions de classe Ck par morceaux.
- Intégrale de RiemannIrrationalité de π (preuve de Niven), partitions et sommes de Riemann, critère d'intégrabilité, théorème de Heine-Cantor, intégrabilité des fonctions continues par morceaux, propriétés de l'intégrale et intégrale de Riemann des fonctions vectorielles.
- Théorèmes fondamentaux et méthodes d'intégrationAntidérivées, premier et deuxième théorèmes fondamentaux du calcul intégral, intégration par parties, changement de variables, intégrale des fonctions périodiques, inégalité des accroissements finis et prolongement des fonctions de classe Ck.
- Formules de TaylorPolynôme de Taylor d'une fonction vectorielle, formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange et formule de Taylor-Young.
- Intégrales impropres de fonctions numériquesIntégrales impropres : définition et exemples, intégrales de Riemann, linéarité et additivité, théorème fondamental, intégration par parties, fonctions positives et critères de comparaison, comparaison série-intégrale, intégrabilité absolue et convergence dominée.
- Fonctions définies par une intégraleIntégrales généralisées dépendant d'un paramètre : continuité et dérivation sous le signe intégrale, fonction Gamma, transformées de Fourier et de Laplace.
- FichesFiches de synthèse du cours de calcul intégral : continuité et dérivabilité des fonctions vectorielles, classe Ck, intégrale de Riemann, théorèmes fondamentaux, méthodes d'intégration, formules de Taylor et intégrales impropres.
Ressources
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