Théorèmes fondamentaux et méthodes d'intégration

Les théorèmes fondamentaux du calcul intégral

On va explorer la relation entre la dérivée et l'intégrale de Riemann d'une fonction vectorielle.

But. Prouver que

$$\int_a^b f(t)\,dt = [F]_a^b$$

Définition 4.11. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction vectorielle. Une antidérivée de $f$ est une fonction $F : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ continue et telle que pour tout point $x \in [a, b]$ où $f$ est continue, on a $F$ dérivable en $x$ et $F'(x) = f(x)$.

Exemple 4.5. Soit $f : \begin{cases} [-2, 2] \to \mathbb{R} \\ \chi_{]0, 2]} - \chi_{[-2, 0[} \end{cases}$, alors :

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in ]0, 2] \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ -1 & \text{si } x \in [-2, 0[ \end{cases}$$

Une antidérivée de $f$ est

$$F : \begin{cases} [-2, 2] \to \mathbb{R} \\ x \mapsto |x| \end{cases}$$

Cependant la fonction $[-2, 2] \to \mathbb{R}$ :

$$G(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \in ]0, 2] \\ -x & \text{si } x \in [-2, 0] \end{cases}$$

n'est pas une antidérivée de $f$ car $G$ n'est pas continue.

Remarque 4.4. Si $F$ est une antidérivée de $f$ et $\underline{c} \in \mathbb{R}^n$, alors $F + \underline{c}$ est aussi une antidérivée de $f$, parce que $F + \underline{c}$ est continue (car somme de fonctions continues) et $\forall x$ où $f$ est continue, $F + \underline{c}$ est dérivable en $x$ et $(F + \underline{c})'(x) = F'(x) + 0 = f(x)$.

Remarque 4.5. Si $f \in \mathcal{CM}^0([a, b], \mathbb{R}^n)$ et $F$ est une antidérivée de $f$, alors $F \in \mathcal{CM}^1([a, b], \mathbb{R}^n)$. En effet, $\exists a = a_0 < a_1 < \cdots < a_r = b$ telle que $f_{|]a_i, a_{i+1}[}$ est continue $\forall i \in \{0, \cdots, r - 1\}$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a_i^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to a_{i+1}^-} f(x)$ existent et sont finies. Mais alors $F$ est continue, $F_{|]a_i, a_{i+1}[}$ est dérivable et de dérivée continue (d'après la définition d'antidérivée), $(F_{|]a_i, a_{i+1}[})' = f_{|]a_i, a_{i+1}[} \ \forall i \in \{0, \cdots, r - 1\}$ ; de plus

$$\begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to a_i^+} F'(x) = \lim_{x \to a_i^+} f(x) \\[6pt] \displaystyle\lim_{x \to a_{i+1}^-} F'(x) = \lim_{x \to a_{i+1}^-} f(x) \end{cases}$$

existent, finies, $\forall i \in \{0, \cdots, r - 1\}$.

Est-ce que l'on peut toujours trouver des antidérivées ?

Théorème 4.5 (Premier théorème fondamental du calcul intégral). Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction Riemann-intégrable sur $[a, b]$. La fonction

$$F_a : \begin{cases} [a, b] \to \mathbb{R}^n \\ x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt \end{cases}$$

est une antidérivée de $f$ qui s'annule en $x = a$.

Démonstration. Prouvons que $F_a$ est continue

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \ |x - x_0| < \delta \Rightarrow \|F(x) - F(x_0)\| < \varepsilon$$

Soit $\|.\|$ une norme de $\mathbb{R}^n$ et fixons $\varepsilon > 0$. Soit $\delta = \dfrac{\varepsilon}{\sup_{[a, b]} \|f\|}$ (si $\sup_{[a, b]} \|f\| \neq 0$ ; mais si $\sup_{[a, b]} \|f\| = 0$ alors $f \equiv 0 \Rightarrow F_a \equiv \text{cte}$ continue). Soit $x \in [a, b]$ : $|x - x_0| < \delta = \dfrac{\epsilon}{\sup_{[a, b]} \|f\|}$, alors

$$\|F_a(x) - F_a(x_0)\| = \left\|\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^{x_0} f(t)\,dt\right\| = \left\|\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt\right\| \leq |x - x_0| \sup_{[a, b]} \|f\| < \frac{\epsilon}{\sup_{[a, b]} \|f\|} \sup_{[a, b]} \|f\| = \epsilon$$

Donc $F_a$ est continue en $x_0$, ce qui implique, par arbitrariété du choix de $x_0$, que $F_a$ est continue sur $[a, b]$. Il reste à démontrer que si $x_0$ est un point où $f$ est continue, alors $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0) = f(x_0)$

$$\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |x - x_0| < \delta \Rightarrow \left\|\frac{F_a(x) - F_a(x_0)}{x - x_0} - f(x_0)\right\| < \epsilon$$

Soit $\epsilon > 0$. Comme $f$ est continue en $x_0$, $\exists \delta > 0$, $|x - x_0| < \delta \Rightarrow \|f(x) - f(x_0)\| < \epsilon$. Donc

$$\begin{aligned} \left\|\frac{F_a(x) - F_a(x_0)}{x - x_0} - f(x_0)\right\| &= \left\|\frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt - f(x_0)\right\| \\ &= \left\|\frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt - \frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^{x} f(x_0)\,dt\right\| \\ &= \left\|\frac{1}{x - x_0} \int_{x_0}^{x} (f(t) - f(x_0))\,dt\right\| \\ &= \frac{1}{|x - x_0|} \left\|\int_{x_0}^{x} (f(t) - f(x_0))\,dt\right\| \\ &\leq \frac{1}{|x - x_0|} \int_{x_0}^{x} \|f(t) - f(x_0)\|\,dt \end{aligned}$$

Remarquons maintenant que $\forall t \in [x_0, x]$, $|t - x_0| \leq |x - x_0| < \delta$, donc $\|f(t) - f(x_0)\| < \epsilon$, donc par monotonie de l'intégrale

$$\leq \frac{1}{|x - x_0|} \int_{x_0}^{x} \epsilon\,dt = \frac{1}{|x - x_0|} \epsilon |x - x_0| = \epsilon$$

Donc $F_a$ est dérivable en $x_0$ de dérivée $f(x_0)$, donc $F_a$ est une antidérivée de $f$.

Remarque 4.6. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction Riemann-intégrable sur $[a, b]$ et $c \in [a, b]$, alors

$$F_c : \begin{cases} [a, b] \to \mathbb{R}^n \\ F_c(x) = \displaystyle\int_c^x f(t)\,dt \end{cases}$$

est aussi une antidérivée de $f$. En effet, par l'additivité

$$\begin{aligned} F_c(x) &= \int_c^x f(t)\,dt \\ &= \int_a^x f(t)\,dt - \int_a^c f(t)\,dt \\ &= F_a(x) - \text{vecteur constant} \end{aligned}$$

Et d'après la remarque précédente, on a que $F_c = F_a + \text{vecteur constant}$ est aussi une antidérivée de $f$ (car $F_a$ l'est).

Théorème 4.6 (Deuxième théorème fondamental du calcul intégral). Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction bornée et continue par morceaux sur $[a, b]$, alors

1. si $F_1, F_2$ sont deux antidérivées de $f$, alors $F_1 = F_2 + \text{vecteur constant}$ (deux antidérivées de $f$ diffèrent par une constante) ;

2. la fonction $F_a$ introduite dans le théorème 4.5 précédent est l'unique antidérivée de $f$ qui s'annule en $x = a$ ;

3. si $F$ est une antidérivée de $f$, alors

   $$\int_a^b f(t)\,dt = [F]_a^b = F(b) - F(a)$$

Démonstration.

1. Soient $F_1, F_2$ deux antidérivées de $f$ ; alors $F_1$ et $F_2$ sont continues et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux d'après la remarque précédente. Ainsi $F_1 - F_2$ est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Si $x \in [a, b]$ est un point de continuité pour $f$, $F_1 - F_2$ est dérivable en $x$ et $(F_1 - F_2)'(x) = F'_1(x) - F'_2(x) = f(x) - f(x) = 0$. Donc $F_1 - F_2$ est continue, de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux et de dérivée nulle où dérivable, donc par la proposition, $F_1 - F_2 = \text{vecteur constant}$.

2. La fonction $F_a$ est une antidérivée de $f$ (voir le 1)) et

   $$F_a(a) = \int_a^a f(t)\,dt = 0$$

   Soit $F$ une antidérivée de $f$ qui s'annule en $x = a$. D'après 1), on doit avoir que $F = F_a + \underline{c}$ avec $\underline{c} \in \mathbb{R}^n$. Mais $\underline{0} = F(a) = F_a(a) + \underline{c} = \underline{c}$, donc $\underline{c} = \underline{0} \Rightarrow F = F_a$.

3. Soit $F$ une antidérivée de $f$, alors $F = F_a + \underline{c}$ pour $\underline{c} \in \mathbb{R}^n$, alors

   $$F(b) - F(a) = (F_a(b) + \underline{c}) - (F_a(a) + \underline{c}) = F_a(b) + \underline{c} - F_a(a) - \underline{c} = F_a(b) - F_a(a) = \int_a^b f(t)\,dt$$

Remarque 4.7. Ce théorème n'est pas forcément vrai pour des fonctions Riemann-intégrables générales. Par exemple, prenons l'ensemble de Cantor.

$$C := \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n$$

On sait que $C$ est fermé et que sa mesure de Lebesgue est 0, mais il est non dénombrable. On définit une fonction $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ comme suit (premières étapes représentées) :

La fonction $f$ est continue pour tout $x \in C$ et $\forall x \notin C$, $f$ est dérivable en $x$ et $f'(x) = 0$. Donc $f$ est une antidérivée de $\chi_C$, mais la propriété 3) n'est pas vraie parce que

$$\int_0^1 \chi_C(t)\,dt = 0$$

(théorème de la mesure de Lebesgue) et donc on n'a pas $f(1) - f(0) = 1$.

Méthodes d'intégration

Notation. Si une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur un intervalle $I$, on notera par $\tilde{f}'$ une extension arbitraire de la dérivée de $f$. Plus précisément, $\exists a_0 = a < a_1 < \cdots < a_r = b$ avec $f_{|]a_i, a_{i+1}[}$ de classe $\mathcal{C}^1$ (donc dérivable) $\forall i \in \{0, \cdots, r - 1\}$, alors $\tilde{f}' : [a, b] \to \mathbb{R}$ est n'importe quelle fonction telle que $\tilde{f}'(x) = f'(x) \ \forall x$ où $f$ est dérivable.

Exemple 4.6. Si $f(x) = |x|$ alors $\tilde{f}'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ \alpha & \text{si } x = 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases} \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}$.

Proposition 4.6. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[a, b]$, alors

$$\int_a^b \tilde{f}'(t)\,dt = f(b) - f(a)$$

Démonstration. $f$ est une antidérivée de $\tilde{f}'$ et on peut utiliser le deuxième théorème fondamental de l'analyse. On a en effet que $f$ est continue ; si $x \in [a, b]$ est un point de continuité de $\tilde{f}'$, alors $f$ est dérivable en $x$ et $f'(x) = \tilde{f}'(x)$ aussi. $\tilde{f}'$ est continue par morceaux parce que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Donc, d'après le deuxième théorème fondamental du calcul intégral,

$$\int_a^b \tilde{f}'\,dt = [f]_a^b = f(b) - f(a)$$

Remarque 4.8. L'égalité n'est pas vraie en général sans demander que $f$ soit continue. Par exemple :

$$f : \begin{cases} [0, 2] \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \chi_{[1, 2]} \end{cases}$$

et soit $\tilde{f}' \equiv 0$. La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux, mais $\displaystyle\int_0^2 \tilde{f}'(t)\,dt = 0$. On utilisera cette proposition pour prouver la formule d'intégration par parties et la formule de changement de variables (pour fonctions vectorielles).

Proposition 4.7 (Intégration par parties). Soient $\phi : [a, b] \to \mathbb{R}$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ deux fonctions continues et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[a, b]$, alors

$$\int_a^b \tilde{\phi}'(t) f(t)\,dt = [\phi f]_a^b - \int_a^b \phi(t) \tilde{f}'(t)\,dt$$

Démonstration. La fonction

$$\phi \cdot f : \begin{cases} [a, b] \to \mathbb{R}^n \\ t \mapsto \phi(t) \cdot f(t) \end{cases}$$

est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Quand elle est définie, la dérivée de $\phi \cdot f$ est

$$\begin{aligned} (\phi f)'(x) &= ((\phi f_1)'(x), \cdots, (\phi f_n)'(x)) \\ &= (\phi'(x) f_1(x) + \phi(x) f'_1(x), \cdots, \phi'(x) f_n(x) + \phi(x) f'_n(x)) \\ &= \phi'(x)(f_1(x), \cdots, f_n(x)) + \phi(x)(f'_1(x), \cdots, f'_n(x)) \\ &= \phi'(x) f(x) + \phi(x) f'(x) \end{aligned}$$

Donc

$$\tilde{(\phi f)}' = \tilde{\phi}' \cdot f + \phi \cdot \tilde{f}'$$

Maintenant, d'après la proposition précédente, comme $\phi \cdot f$ est continue et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, on a

$$[\phi f]_a^b = \int_a^b \tilde{(\phi f)}'(t)\,dt = \int_a^b (\tilde{\phi}' f + \phi \tilde{f}')(t)\,dt = \int_a^b \tilde{\phi}'(t) f(t)\,dt + \int_a^b \phi(t) \tilde{f}'(t)\,dt$$

Exemple 4.7.

$$\begin{aligned} \int_0^1 t \cdot \begin{pmatrix} \arctan(t) \\ 1 \end{pmatrix} dt &= \left[\frac{t^2}{2} \begin{pmatrix} \arctan(t) \\ 1 \end{pmatrix}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^2}{2} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{1 + t^2} \\ 0 \end{pmatrix} dt \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{4} \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \int_0^1 \begin{pmatrix} \dfrac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2} \\ 0 \end{pmatrix} dt \end{aligned}$$

Proposition 4.8 (Changement de variables). Soient $\phi : [a, b] \to [c, d]$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et $f : [c, d] \to \mathbb{R}^n$ une fonction continue par morceaux sur $[c, d]$, alors

$$\int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\,dt = \int_a^b f(\phi(t)) \phi'(t)\,dt$$

Démonstration. Posons $F : [c, d] \to \mathbb{R}^n$ une antidérivée de $f$. La fonction $F \circ \phi : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ est continue (parce que $F$ et $\phi$ sont continues) et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux (parce que $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux car antidérivée d'une fonction continue par morceaux). Aussi, pour tout $x \in [a, b]$ où $F \circ \phi$ est dérivable

$$\begin{aligned} \widetilde{(F \circ \phi)'}(x) &= (F \circ \phi)'(x) \\ &= \phi'(x) \cdot F'(\phi(x)) \\ &= \phi'(x) \cdot f(\phi(x)) \end{aligned}$$

alors la proposition nous dit que

$$\begin{aligned} \int_a^b f(\phi(t)) \phi'(t)\,dt &= \int_a^b \widetilde{(F \circ \phi)'}(t)\,dt \\ &= (F \circ \phi)(b) - (F \circ \phi)(a) \\ &= F(\phi(b)) - F(\phi(a)) \\ &\underbrace{=}_{\text{II TFdCI}} \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\,dt \end{aligned}$$

Des applications de la formule de changement de variables aux fonctions périodiques

Rappelons qu'une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ est dite $T$-périodique, ou périodique de période $T$, avec $T \in \mathbb{R}$, si $\forall x \in \mathbb{R}$ on a $f(x + T) = f(x)$.

Exemple 4.8. Sinus est $2\pi$-périodique parce que $\sin(x + 2\pi) = \sin(x) \ \forall x \in \mathbb{R}$.

Remarque 4.9. Une fonction $f$ est $T$-périodique si et seulement si son graphe est stable par la translation

$$x \mapsto x + T$$

Si $f$ est continue par morceaux et $T$-périodique, alors l'intégrale de $f$ sur tout intervalle de volume $T$ est la même, c'est-à-dire $\forall a \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\int_a^{a+T} f(t)\,dt = \int_0^T f(t)\,dt$.

Démonstration. Comme $\mathbb{R} = \displaystyle\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} [(n - 1)T, nT]$, alors $a \in \mathbb{R} \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N}$ tel que $a \in [(n - 1)T, nT]$. Alors l'additivité de l'intégrale donne

$$\int_a^{a+T} f(t)\,dt = \int_a^{nT} f(t)\,dt + \int_{nT}^{a+T} f(t)\,dt$$

La formule de changement des variables dit que

$$\begin{aligned} \int_a^{nT} f(t)\,dt &= \int_a^{nT} f(t + T)\,dt \\ &= \int_a^{nT} f(\phi_T(t)) \cdot \phi'_T(t)\,dt \\ &= \int_{\phi_T(a)}^{\phi_T(nT)} f(t)\,dt = \int_{a+T}^{(n+1)T} f(t)\,dt \end{aligned}$$

où $\phi_T : x \mapsto x + T$. Alors

$$\begin{aligned} \int_a^{a+T} f(t)\,dt &= \int_{a+T}^{(n+1)T} f(t)\,dt + \int_{nT}^{a+T} f(t)\,dt \\ &= \int_{nT}^{(n+1)T} f(t)\,dt \\ &= \int_{nT}^{T + nT} f(t - nT)\,dt \\ &= \int_{\phi_{-nT}(nT)}^{\phi_{-nT}(nT + T)} f(t)\,dt \\ &= \int_0^T f(t)\,dt \end{aligned}$$

Donc si $I$ et $J$ sont deux intervalles de volume $T$, $I = [a, a + T]$ et $J = [b, b + T]$ pour certains $a, b \in \mathbb{R}$, alors

$$\int_a^{a+T} f(t)\,dt = \int_0^T f(t)\,dt = \int_b^{b+T} f(t)\,dt$$

donc les intégrales de $f$ sur $I$ et $J$ coïncident.

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique, continue par morceaux, d'antidérivée $F$ ; alors $F$ est $T$-périodique si et seulement si la moyenne de $f$ sur une période est nulle (i.e. $\displaystyle\int_0^T f(t)\,dt = 0$).

Démonstration. $F$ est $T$-périodique

$$\begin{aligned} &\Leftrightarrow F(x) = F(x + T) \ \forall x \in \mathbb{R} \\ &\Leftrightarrow F(x + T) - F(x) = 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \end{aligned}$$

Mais $F(x + T) - F(x) = [F]_x^{x+T} = \displaystyle\int_x^{x+T} f(t)\,dt = \int_0^T f(t)\,dt$. Par exemple, comme $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin(t)\,dt = 0$, alors une antidérivée de $\sin$ est aussi $2\pi$-périodique (pas surprenant, c'est $-\cos$). Par contre, soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) := \sin(x) + 1$. Elle est $2\pi$-périodique, mais

$$\int_0^{2\pi} f(t)\,dt = \int_0^{2\pi} \sin(t)\,dt + \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi \neq 0$$

Deux applications de l'intégrale

On va prouver deux théorèmes classiques, mais dans le contexte plus général des fonctions vectorielles continues par morceaux.

Théorème 4.7 (Inégalité des accroissements finis). L'idée est de donner une relation entre la pente de la droite $(a, f(a)), (b, f(b))$ et la dérivée de $f$ dans l'intervalle $[a, b]$. Soient $\|.\|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ qui satisfait

1. $f$ continue sur $[a, b]$ ;
2. $f$ dérivable sur $]a, b[$ sauf pour un nombre (au plus) fini de points ;
3. $\exists c \in \mathbb{R}^+$ tel que $\|f'(t)\| \leq c \ \forall t \in [a, b]$ où $f$ est dérivable ; alors $\|f(b) - f(a)\| \leq c(b - a)$.

Démonstration.

1. On suppose d'abord que $f$ est dérivable partout sur $]a, b[$ et on prouve l'inégalité pour une telle fonction. Soit $\epsilon > 0$ ; comme $f$ est continue en $a$ et en $b$, $\exists \delta > 0$ tel que $\|f(a) - f(a + \delta)\| < \epsilon$ et $\|f(b) - f(b - \delta)\| < \epsilon$. On peut supposer $\delta < \dfrac{b - a}{2}$ ; dans ce cas $a + \delta < b - \delta$ et $[a + \delta, b - \delta] \subseteq ]a, b[$ (car $\delta > 0$), donc $f$ est dérivable sur $[a + \delta, b - \delta]$, alors

   $$\begin{aligned} \|f(b) - f(a)\| &= \|f(b) - f(b - \delta) + f(b - \delta) - f(a) - f(a + \delta) + f(a + \delta)\| \\ &\leq \|f(b) - f(b - \delta)\| + \|f(a + \delta) - f(a)\| + \|f(b - \delta) - f(a + \delta)\| \\ &< \|f(b - \delta) - f(a + \delta)\| + 2\epsilon \\ &= \left\|\int_{a+\delta}^{b-\delta} f'(t)\,dt\right\| + 2\epsilon \\ &\leq \int_{a+\delta}^{b-\delta} \|f'(t)\|\,dt + 2\epsilon \\ &\leq \int_{a+\delta}^{b-\delta} c\,dt + 2\epsilon \\ &= c(b - a - 2\delta) + 2\epsilon \\ &< c(b - a) + 2\epsilon \end{aligned}$$

   Donc $\forall \epsilon > 0$

   $$\|f(b) - f(a)\| < c(b - a) + 2\epsilon$$

   donc $\|f(b) - f(a)\| \leq c(b - a)$.

2. Dans le cas général, soient $a = c_0 < c < \cdots < c_r = b$ tels que $f$ est dérivable dans $]c_i, c_{i+1}[$ $\forall i \in \{0, \cdots, r\}$ ; donc la restriction $f_{|[c_i, c_{i+1}]}$ est continue et dérivable sur $]c_i, c_{i+1}[$ et satisfait $\|f'_{|]c_i, c_{i+1}[}(t)\| \leq c \ \forall t \in ]c_i, c_{i+1}[$, donc $f_{|[c_i, c_{i+1}]}$ satisfait les hypothèses du 1) et alors

   $$\|f(c_{i+1}) - f(c_i)\| \leq c(c_{i+1} - c_i) \tag{4}$$

   $\forall i \in \{0, \cdots, r - 1\}$, alors

   $$\begin{aligned} \|f(b) - f(a)\| &= \|f(c_r) - f(c_{r-1}) + f(c_{r-1}) - f(c_{r-2}) + \cdots - f(c_1) + f(c_1) - f(c_0)\| \\ &\leq \sum_{i=0}^{r-1} \|f(c_{i+1}) - f(c_i)\| \\ &\underbrace{\leq}_{(4)} \sum_{i=0}^{r-1} C(c_{i+1} - c_i) = C \sum_{i=0}^{r-1} (c_{i+1} - c_i) \\ &= C(c_r - c_{r-1} + c_{r-1} - c_{r-2} + \cdots + c_1 - c_0) \\ &= C(b - a) \end{aligned}$$

Remarque 4.10. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ une fonction continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux ; alors sur chaque intervalle de dérivabilité, la dérivée s'étend à une fonction continue sur un intervalle compact, donc

$$C_f = \sup\{\|f'(t)\|, t \in [a, b], f \text{ dérivable en } t\} < \infty$$

La fonction $f$ satisfait les hypothèses du théorème 4.7 avec ce choix de $C$, alors

$$\|f(b) - f(a)\| \leq C_f (b - a)$$

Remarque 4.11. L'inégalité de la remarque peut être stricte. Par exemple $f : \begin{cases} [0, 2\pi] \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \sin(x) \end{cases}$. On a que

$$C_f = \sup_{[0, 2\pi]} \{\|\cos(t)\|\} = 1$$

Donc la remarque dit que

$$0 = \|f(2\pi) - f(0)\| \leq 2\pi$$

Théorème 4.8 (Prolongement des fonctions de classe $C^k$). Soient $I$ un intervalle réel, $x_0 \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^n$ satisfaisant

1. $f$ continue sur $I$ ;

2. $f$ est de classe $C^k$ sur $I \setminus \{x_0\}$ ;

3. $\forall r \in \{1, \cdots, k\}$, la limite de $f^{(r)}$ pour $x \to x_0$ existe, finie

   $$l_r = \lim_{x \to x_0} f^{(r)}(x)$$

alors $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ et $f^{(r)}(x_0) = l_r \ \forall r \in \{1, \cdots, k\}$.

Démonstration. On prouve le théorème par récurrence sur $k$. Pour $k = 0$, il n'y a rien à prouver. Supposons alors que le théorème est vrai pour tout naturel jusqu'à $k$ et on va le prouver pour $k + 1$. Soit alors $f$ une fonction continue sur $I$, de classe $\mathcal{C}^{k+1}$ sur $I \setminus \{x_0\}$ et avec $l_r = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f^{(r)}(x) \in \mathbb{R}^n \ \forall r \in \{1, \cdots, k + 1\}$. Donc par hypothèse de récurrence, on sait que $f$ est de classe $C^k$ sur $I$, donc soit $f^{(k)} : I \to \mathbb{R}^n$ continue. On veut prouver que $f^{(k)}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ (cela implique que $f$ est dérivable $k + 1$ fois sur $I$ avec $f^{(k+1)}$ continue). Soit maintenant $g : I \to \mathbb{R}^n$

$$g(x) = \begin{cases} f^{(k+1)}(x) & \text{si } x \neq x_0 \\ l_{k+1} & \text{si } x = x_0 \end{cases}$$

alors $g$ est une fonction continue sur $I$ d'après l'hypothèse 3), donc continue sur un petit intervalle $[a, b]$ contenant $x_0$ ; considérons

$$G : \begin{cases} [a, b] \to \mathbb{R}^n \\ x \mapsto \displaystyle\int_a^x g(t)\,dt \end{cases}$$

Comme $f^{(k)}$ est continue sur $I$, donc

$$\begin{aligned} f^{(k)}(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f^{(k)}(x) &= \lim_{x \to x_0^-} \left(\int_a^x f^{(k+1)}(t)\,dt + f^{(k)}(a)\right) \\ &= \lim_{x \to x_0^-} \left(\int_a^x g(t)\,dt + f^{(k)}(a)\right) \\ &= \lim_{x \to x_0^-} G(x) + f^{(k)}(a) = G(x_0) + f^{(k)}(a) \end{aligned}$$

alors pour tout $x \in [a, b]$, $x \leq x_0$, $G(x) = f^{(k)}(x) - f^{(k)}(a)$, et de manière similaire pour tout $x \in [a, b]$, $x \geq x_0$, $G(x) = f^{(k)}(x) - f^{(k)}(b)$, alors $\forall x \in [a, b]$, $G(x) = f^{(k)}(x) + \text{cte}$. Mais $G$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (d'après le premier théorème fondamental) car $G$ est dérivable sur $[a, b]$ et $G' = g$ continue. Alors $f^{(k)}$ est aussi de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$, donc sur $I$, et donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^{k+1}$. Alors $f^{(k+1)}(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f^{(k+1)}(x) = l_{k+1}$.