Intégrales impropres de fonctions numériques

Définition et exemples

Rappel. Dans le chapitre 1, on a défini l'intégrale de Riemann pour des fonctions à valeurs vectorielles bornées et sur un intervalle compact $I$. Le but de ce chapitre est d'étendre la définition du chapitre 1 à de nouveaux cas, i.e. :

• au cas de fonctions qui ne sont pas bornées sur un intervalle compact ($\dfrac{1}{x}$ sur $[0, 1]$) ;
• au cas d'un intervalle non compact ($[1, +\infty[$).

Notation. Soit $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \bigcup \{-\infty, +\infty\}$. Il est muni d'une relation d'ordre totale "$\leq$" obtenue en étendant la relation "$\leq$" sur $\mathbb{R}$ par

$$x \leq +\infty \quad \forall x \in \overline{\mathbb{R}} \qquad \text{et} \qquad -\infty \leq x \quad \forall x \in \overline{\mathbb{R}}$$

Définition 6.1. Soient $I \subseteq \overline{\mathbb{R}}$. Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ bornée et Riemann-intégrable sur chaque sous-intervalle compact de $I$. L'intégrale de $f$ sur $I$ converge si pour un (et donc tout) choix de $x_0 \in I$, on a que

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n$$

Dans ce cas, on appelle intégrale (impropre) de $f$ sur $]a, b[$ la quantité

$$\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n$$

et on dit que $f$ est intégrable sur $I$ (ou qu'elle admet une intégrale impropre sur $I$).

Exemple 6.1.

$$\int_0^1 \frac{1}{x}\,dx$$

(c'est l'"aire" sous le graphe de $\dfrac{1}{x}$ entre 0 et 1) Calculons l'intégrale (si elle existe). La fonction $\dfrac{1}{x}$ est bornée et Riemann-intégrable (car continue) sur chaque intervalle fermé $[c, d]$ ($c > 0, d \leq 1$). Soit $x_0 \in ]0, 1]$, par exemple $x_0 = 1$. On a que

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 \frac{1}{t}\,dt &= \lim_{x \to 0^+} [\ln t]_x^1 \\ &= \lim_{x \to 0^+} -\ln x = +\infty \end{aligned}$$

donc la fonction $\dfrac{1}{x}$ n'admet pas d'intégrale impropre sur $]0, 1]$ (l'aire sous la courbe est infinie).

Remarque 6.1. Dans la définition, il y a un "pour un (et donc tout) choix de $x_0 \in I$". Supposons que

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n$$

Alors pour un autre $\tilde{x}_0 \in I$ arbitraire,

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{\tilde{x}_0} f(t)\,dt \underbrace{=}_{\substack{[x, \tilde{x}_0] \subseteq I \\ \text{et } f \text{ est } \mathcal{R}\text{-intégrable}}} \lim_{x \to \inf(I)} \Bigg(\int_x^{x_0} f(t)\,dt + \underbrace{\int_{x_0}^{\tilde{x}_0} f(t)\,dt}_{\substack{\in \mathbb{R}^n \\ \text{car } f \ \mathcal{R}\text{-intégrable} \\ \text{sur } [x_0, \tilde{x}_0]}}\Bigg) = \int_{x_0}^{\tilde{x}_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \inf(I)} \left(\int_x^{x_0} f(t)\,dt\right)$$

donc

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{\tilde{x}_0} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to \sup(I)} \int_{\tilde{x}_0}^{x} f(t)\,dt \in \mathbb{R}^n$$

Donc on conclut par arbitrarité. D'autre part, si $\displaystyle\lim_{x \to \inf I} \int_x^{x_0} f(t)\,dt \notin \mathbb{R}^n$ pour un certain $x_0 \in I$, on a le même pour tout autre choix de $\tilde{x}_0 \in I$.

Remarque 6.2. La définition est compatible avec celle de l'intégrale de Riemann du chapitre 1. En effet, si $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ est Riemann-intégrable, alors

$$\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt$$

car le théorème 4.5 dit que la fonction $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ est continue.

Exemple 6.2. Calculer

$$\int_{]0, 1]} t \log(t)\,dt$$

(on ne peut pas utiliser la théorie du chapitre A parce que $t \log(t)$ n'est pas définie en 0). Par définition (comme $t \log(t)$ est continue, donc Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $]0, 1]$), on a

$$\begin{aligned} \int_{]0, 1]} f(t)\,dt &= \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 f(t)\,dt \\ &= \lim_{x \to 0^+} \left(\int_x^1 t \log(t)\,dt\right) \\ &= \lim_{x \to 0^+} \left(-\frac{x^2}{2} \log(x) - \frac{1}{4}(1 - x^2)\right) = -\frac{1}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_x^1 t \log(t)\,dt &= \left[\frac{t^2}{2} \log(t)\right]_x^1 - \int_x^1 \frac{t^2}{2} \frac{1}{t}\,dt \\ &= -\frac{x^2}{2} \log(x) - \frac{1}{2} \left[\frac{t^2}{2}\right]_x^1 \\ &= -\frac{x^2}{2} \log(x) - \frac{1}{4}(1 - x^2) \\ &= -\frac{1}{4} + \frac{x^2}{4}(1 - 2\log(x)) \end{aligned}$$

La fonction $f(t) = t \log(t)$ peut être prolongée par continuité en une fonction $g$ continue sur $[0, 1]$, $g(t) = \begin{cases} f(t) & t \neq 0 \\ 0 & = 0 \end{cases}$ et $\displaystyle\int_{]0, 1]} f(t)\,dt = \int_{]0, 1]} g(t)\,dt = \int_0^1 g(t)\,dt$.

Exemple 6.3. Calculer l'aire sous le graphe de la fonction $f(t) = \log(t)$ entre 0 et 1. La fonction $f(t) = \log(t)$ est continue, donc Riemann-intégrable sur chaque sous-intervalle compact de $]0, 1]$, alors $A = \displaystyle\int_{]0, 1]} \log(t)\,dt = \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 \log(t)\,dt = \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 \log(t)\,dt = \lim_{x \to 0^+} (x - 1 - x \log(x)) = -1$.

Proposition 6.1. Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, alors

1. l'intégrale impropre $\displaystyle\int_{[1, +\infty[} \frac{1}{t^\alpha}\,dt$ converge si et seulement si $\alpha > 1$, et dans ce cas $\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha}\,dt = \frac{1}{\alpha - 1}$ ;
2. l'intégrale impropre $\displaystyle\int_{]0, 1]} \frac{1}{t^\beta}\,dt$ converge si et seulement si $\beta < 1$, et dans ce cas $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{t^\beta}\,dt = \frac{1}{1 - \beta}$.

Démonstration.

1. La fonction $\dfrac{1}{t^\alpha}$ est continue, donc bornée et Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $[1, +\infty[$. Donc

   $$\begin{aligned} \int_{[1, +\infty[} \frac{1}{t^\alpha}\,dt &= \lim_{x \to +\infty} \int_1^x \frac{1}{t^\alpha}\,dt \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} \end{aligned}$$

   mais si $\alpha \neq 1$

   $$\begin{aligned} \int_1^x \frac{1}{t^\alpha}\,dt &= \left[\frac{t^{-\alpha+1}}{1 - \alpha}\right]_1^x \\ &= \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} \end{aligned}$$

   et $\dfrac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ converge lorsque $x \to +\infty$ si et seulement si $\alpha > 1$.

2. Si $\beta = 1$, $\displaystyle\int_{]0, 1]} \frac{1}{t}\,dt = \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 \frac{1}{t}\,dt = \lim_{x \to 0^+} (-\log(x))$.

Remarque 6.3.

1. L'intégrale impropre de $\dfrac{1}{t}$ n'existe ni sur $]0, 1]$ ni sur $[1, +\infty[$.
2. Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\displaystyle\int_{]0, +\infty[} \frac{1}{t^\alpha}\,dt$ n'existe pas finie.

Exemple 6.4. Calculer

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{1 + t^2}\,dt$$

Il faut vérifier pour $x_0 = 0$

$$\begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)\,dt \in \mathbb{R} \\[8pt] \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \int_x^0 f(t)\,dt \in \mathbb{R} \end{cases}$$

Il suffit de vérifier la première car $\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt = -\int_0^{-x} -f(u)\,du = -\int_{-x}^0 f(u)\,du$.

Propriétés de l'intégrale impropre

Par "intégrale de $\mathbb{R}$", on voudra dire un ensemble $]a, b[$ ou $[a, b[$ ou $[a, b]$ avec $a, b \in \overline{\mathbb{R}}$ et $a < b$.

Proposition 7.1. Soit $I \in \overline{\mathbb{R}}$ un intervalle et soient $f, g : I \to \mathbb{R}^\kappa$ deux fonctions intégrables sur $I$, $\lambda \in \mathbb{R}$ ; alors

• (linéarité) $\lambda f + g$ est intégrable sur $I$ et

  $$\int_I (\lambda f + g)(t)\,dt = \lambda \int_I f(t)\,dt + \int_I g(t)\,dt$$

• (additivité) soit $I = ]a, b[$ ; si $c \in I$, alors

  $$\int_{]a, b[} f(t)\,dt = \int_{]a, c]} f(t)\,dt + \int_{[c, b[} f(t)\,dt$$

Démonstration.

• $f$ et $g$ sont Riemann-intégrables sur chaque sous-intervalle $[x_1, x_2]$ compact de $I$, donc $\lambda f + g$ l'est aussi (d'après le chapitre A) et par additivité

  $$\int_{x_1}^{x_2} (\lambda f + g)(t)\,dt = \lambda \int_{x_1}^{x_2} f(t)\,dt + \int_{x_1}^{x_2} g(t)\,dt$$

  Soit $x_0 \in I$, alors pour tout $x \in I$ on a

  $$\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} (\lambda f + g)(t)\,dt = \lim_{x \to \sup(I)} \left(\lambda \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt + \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt\right)$$

  Les deux intégrales admettent une limite pour $x \to \sup(f)$ (car $f$ est intégrable sur $I$). Donc

  $$= \lambda \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt \in \mathbb{R}^n$$

  De la même façon pour la limite lorsque $x \to \inf(I)$ ; alors, par définition, $\lambda f + g$ est intégrable sur $I$ et

  $$\begin{aligned} \int_I (\lambda f + g)(t)\,dt &= \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} (\lambda f + g)(t)\,dt + \lim_{x \to \inf(I)} \int_{x}^{x_0} (\lambda f + g)(t)\,dt \\ &= \lambda \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt + \lambda \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} g(t)\,dt \\ &= \lambda \int_I f(t)\,dt + \int_I g(t)\,dt \end{aligned}$$

• On peut choisir $c$ dans la définition d'intégrale impropre pour obtenir

  $$\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \inf(f)} \int_x^c f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(f)} \int_x^c f(t)\,dt$$

Remarque 7.1. La linéarité prouve que l'ensemble $\mathcal{J}(I, \mathbb{R}^n) = \{f : I \to \mathbb{R}^n : \text{intégrables sur } I\}$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (de dimension infinie).

Proposition 7.2 (Théorème fondamental pour les intégrales impropres). Soit $I \subseteq \overline{\mathbb{R}}$ un intervalle, soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}^n$, intégrable sur $I$. Si $F$ est une antidérivée de $f$ sur $I$, alors

$$\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \sup(I)} F(x) - \lim_{x \to \inf(I)} F(x)$$

Démonstration. Soit $x_0 \in I$

$$\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt + \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt = \cdots$$

en appliquant le deuxième théorème fondamental du calcul intégral sur les intervalles compacts $[x_0, x]$ et $[x, x_0]$ ($F$ est une antidérivée de $f$ sur $I$, donc même sur ces intervalles).

$$\begin{aligned} \cdots &= \lim_{x \to \sup(I)} (F(x) - F(x_0)) + \lim_{x \to \inf(I)} (F(x_0) - F(x)) \\ &= \lim_{x \to \sup(I)} F(x) - \lim_{x \to \inf(I)} F(x) \end{aligned}$$

Proposition 7.3. Soit $I \subseteq \overline{\mathbb{R}}$ un intervalle, et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction continue, positive, intégrable sur $I$ ; alors

$$\int_I f(t)\,dt = 0 \Leftrightarrow f = 0$$

Démonstration. D'une part ($\Leftarrow$) : soit $x_0 \in I$, $\displaystyle\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt = 0$. D'autre part ($\Rightarrow$), on sait que

$$0 = \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$$

Mais $f$ est positive, donc si $\inf(I) \leq x \leq x_0$, alors $\displaystyle\int_x^{x_0} f(t)\,dt \geq 0$. Et aussi $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt \geq 0$ ; de même $\displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \geq 0$. Alors on a $\displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt = 0$. De plus, la fonction $F_{x_0} : \begin{cases} [x_0, \sup I[ \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \end{cases}$ a comme dérivée (par le théorème 4.5) $f$, qui est positive, donc $F_{x_0}$ est croissante sur $[x_0, \sup(I)[$ et $F_{x_0}(x) \geq 0 \ \forall x \in [x_0, \sup(I)[$ et $\displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} F_{x_0}(x) = 0$, alors forcément $F_{x_0}(x) = 0$ $\forall x \in [x_0, \sup(I)[$, donc $\displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt = 0 \ \forall x \in [x_0, \sup(I)[$. Ainsi, un résultat sur les intégrales des fonctions continues sur un compact donne que $f$ est équivalente à 0 sur $[x_0, x]$. Donc $f$ est équivalente à 0 sur $[x_0, \sup(I)]$. De la même manière, on prouve que $f \equiv 0$ sur $]\inf(f), x_0]$, donc $f \equiv 0$ sur $I$.

Proposition 7.4 (Intégration par parties). Soient $I \subseteq \overline{\mathbb{R}}$ un intervalle, $\phi : I \to \mathbb{R}$, $f : I \to \mathbb{R}^n$ deux fonctions continues de classe $C^1$ par morceaux sur $I$ et intégrables sur $I$. Soient $\tilde{\phi}'$ et $\tilde{f}'$ des extensions arbitraires de la dérivée de $\phi$ et $f$ sur $I$. Supposons aussi que

• $\displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} \phi(x) f(x)$ existe dans $\mathbb{R}^n$ et $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \phi(x) f(x)$ existe dans $\mathbb{R}^n$ ;
• $\phi(t) \cdot \tilde{f}'(t)$ est intégrable sur $I$ ; alors $\tilde{\phi}'(t) f(t)$ est intégrable sur $I$

$$\int_I \tilde{\phi}' f(t)\,dt = \lim_{x \to \sup(I)} \phi(x) f(x) - \lim_{x \to \inf(I)} \phi(x) f(x) - \int_I \phi(t) \tilde{f}'(t)\,dt$$

Démonstration. Soit $x_0 \in I$. On considère pour tout $x \in [x_0, \sup(I)[$

$$\int_{x_0}^{x} \tilde{\phi}'(t) f(t)\,dt = [\phi f]_{x_0}^{x} - \int_{x_0}^{x} \phi(t) \tilde{f}'(t)\,dt = \phi(x) f(x) - \phi(x_0) f(x_0) - \int_{x_0}^{x} \phi(t) \tilde{f}'(t)\,dt$$

Les hypothèses 1 et 2 assurent que la limite pour $x \to \sup(I)$ existe dans $\mathbb{R}^n$. De même pour $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} \tilde{\phi}'(t) f(t)\,dt$. L'énoncé alors MANQUE

Intégrales impropres de fonctions numériques positives

Critère d'intégrabilité

Théorème 7.1. Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction positive, Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $I$. Alors $f$ est intégrable sur $I$ si et seulement si $\exists M > 0$ tel que $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \leq M$ pour tout $[a, b] \subseteq I$.

Corollaire 7.1. Soit $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction positive, Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $I$, et supposons que $I$ est un intervalle borné. Si $f$ est bornée, alors elle est intégrable.

Démonstration. Comme $f$ est bornée, il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que

$$0 \leq f(x) \leq C \quad \forall x \in I$$

Pour tout sous-intervalle compact $[a, b]$ de $I$, on a alors que

$$\int_a^b f(t)\,dt \underbrace{\leq}_{\text{monotonie}} \int_a^b C\,dt = C(b - a)$$

Mais $[a, b] \subseteq I$, donc $b - a = \text{vol}([a, b]) \leq \text{vol}(I) \in \mathbb{R}$ car $I$ est borné. Donc $\forall [a, b]$ compact dans $I$

$$\int_a^b f(t)\,dt \leq C \,\text{vol}(I) = M$$

Donc, d'après le théorème 7.1, $f$ est intégrable sur $I$.

Exemple 7.1. La fonction $f(x) = |\sin(\log(x))|$ sur $]0, 1]$ est intégrable grâce au corollaire. En effet, $f$ est positive, Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $]0, 1]$ (parce qu'elle est continue), $]0, 1]$ est borné et $f$ est bornée sur $]0, 1]$ car $\forall x \in ]0, 1]$, $f(x) \leq 1$.

Remarque 7.2. L'énoncé n'est pas vrai si $I$ n'est pas borné. Par exemple, la fonction constamment égale à 1 n'est pas intégrable sur $[0, +\infty[$, même si elle est bornée.

Remarque 7.3. Dans le corollaire, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ est intégrable sur l'intervalle borné $]0, 1]$, mais elle n'est pas bornée.

Corollaire 7.2. Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle, $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction positive et continue par morceaux sur $I$. Soit $F : I \to \mathbb{R}$ une antidérivée de $f$ sur $I$ ; alors on a que $f$ est intégrable sur $I$ si et seulement si $F$ est bornée sur $I$.

Démonstration. On a que $f$ est continue par morceaux sur $I$, donc elle est continue par morceaux sur tout sous-intervalle compact de $I$, donc $f$ est Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $I$. On peut utiliser le théorème. D'une part ($\Rightarrow$), supposons que $f$ est intégrable sur $I$ ; alors le théorème dit que $\exists M > 0$ tel que $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt < M \ \forall [a, b] \subseteq I$ compact. Choisissons $x_0 \in I$ ; le deuxième théorème fondamental du calcul intégral affirme que $\forall x \in I$, $\displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt = F(x) - F(x_0)$. Et donc si $x > x_0$, on a

$$F(x) = F(x_0) + \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt < F(x_0) + M$$

et $F(x) = F(x_0) + \displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \geq F_{x_0}$ car $f$ est positive et $x_0 < x$. De même, $F(x_0) - M < F(x) \leq F(x_0) \ \forall x \in I, x < x_0$ ; alors $\forall x \in I$ on a

$$F(x_0) - M < F(x) < F(x_0) + M$$

donc $F$ est bornée sur $I$. D'autre part ($\Leftarrow$), $F$ est bornée par $M$ sur $I$ ; pour tout sous-intervalle compact $[a, b]$ de $I$, le deuxième théorème du calcul intégral donne

$$\int_a^b f(t)\,dt = F(b) - F(a) \leq M + M = 2M$$

alors le théorème implique que $f$ est intégrable sur $I$.

Exemple 7.2. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$.

La fonction $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ d'après le corollaire, car une antidérivée de $f$ est $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = \arctan(x)$, qui est bornée sur $\mathbb{R}$. Par le premier théorème fondamental du calcul intégral généralisé, on a que

$$\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}} f(t)\,dt &= \lim_{x \to +\infty} F(x) - \lim_{x \to -\infty} F(x) \\ &= \pi/2 - (-\pi/2) \\ &= \pi \end{aligned}$$

Cela peut nous servir à calculer la valeur de $\pi$.

Comparaisons de fonctions positives

Pour des fonctions générales, on ne connaît pas de primitive ; il peut donc être plus difficile de déterminer si elles sont intégrables ou pas sur un intervalle $I$ quelconque. On peut par contre déduire l'intégrabilité d'une fonction positive en la comparant avec d'autres fonctions.

Proposition 7.5. Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle, soient $f, g : I \to \mathbb{R}$ deux fonctions positives sur $I$ et $f, g$

Démonstration. Comme $g$ est intégrable sur $I$, le théorème du cours affirme que $\exists M > 0$ tel que $\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt < M$ pour tout sous-intervalle compact $[a, b]$ de $I$. La monotonie de l'intégrale de Riemann sur des intervalles compacts donne $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \leq \int_a^b g(t)\,dt < M$, alors le théorème implique que $f$ est intégrable sur $I$. Soit $x_0 \in I$ ; on a

$$\int_I f(t)\,dt = \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \tag{5}$$

Pour tout $x \in I$, $x \leq x_0$, on a

$$\int_x^{x_0} f(t)\,dt \leq \int_x^{x_0} g(t)\,dt$$

et les limites pour $x \to \inf(I)$ existent des deux côtés, et la limite préserve les inégalités

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt \leq \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} g(t)\,dt$$

De même

$$\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt \leq \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt$$

Donc, dans l'équation 5, on obtient $\displaystyle\int_I f(t)\,dt \leq \int_I g(t)\,dt$. Pour le deuxième point, on remarque qu'il est l'affirmation contraposée de la première.

Corollaire 7.3. Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle, $f : I \to \mathbb{R}$ positive et Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $I$. Supposons que $\exists a, b \in I, a < b$ avec

• $\forall x \in I, x \leq a$, $f(x) \leq c_1 g_1(x)$ avec $c_1 \in \mathbb{R}$ et $g_1 : \{x \in I, x \leq a\} \to \mathbb{R}$ intégrable sur $\{x \in I : x \geq a\} = I_1$ ;
• $\forall x \in I, x \geq b$, $f(x) \leq c_2 g_2(x)$ avec $c_2 \in \mathbb{R}$ et $g_2 = \{x \in I, x \geq b\} = I_2 \to \mathbb{R}$ intégrable sur $I_2$ ; alors $f$ est intégrable sur $I$ et

$$\int_I f(t)\,dt \leq \int_a^b f(t)\,dt + c_1 \int_{]\inf(I), a]} g_1(t)\,dt + c_2 \int_{[b, \sup(I)[} g_2(t)\,dt$$

Démonstration. D'après la linéarité, $c_1 g_1$ est intégrable sur $I_1$, donc la proposition implique que $f$ est intégrable sur $I_1$ et $\displaystyle\int_{I_1} f(t)\,dt \leq \int_{I_1} c_2 g_2(t)\,dt = \int_{I_1} g_1(t)\,dt$ ; de même, $f$ est intégrable sur $I_2$

$$\int_{I_1} f(t)\,dt \leq c \int_{I_2} g(t)\,dt$$

Donc

$$\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt = \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \int_a^b f(t)\,dt$$

alors $f$ est intégrable sur $I$.

$$\begin{aligned} \int_I f(t)\,dt &= \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^b f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_b^x f(t)\,dt \\ &= \int_a^b f(t)\,dt + \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^a f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_b^x f(t)\,dt \\ &= \int_a^b f(t)\,dt + \int_{I_1} f(t)\,dt + \int_{I_2} f(t)\,dt \\ &\leq \int_a^b f(t)\,dt + c_1 \int_{I_1} g_1(t)\,dt + c_2 \int_{I_2} g_2(t)\,dt \end{aligned}$$

Exemple 7.3 (Exemple 1). $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$, $f(t) = \dfrac{e^{-t}}{1 + t^2}$. Sur $[0, +\infty[$, on a $e^{-t} \leq 1$, donc $f(t) = \dfrac{e^{-t}}{1 + t^2} \leq \dfrac{1}{1 + t^2}$. Mais $f$ et $\dfrac{1}{1 + t^2}$ sont deux fonctions positives qui satisfont les hypothèses de la proposition, donc $f$ est intégrable et

$$\int_{[0, +\infty[} f(t)\,dt \leq \int_{[0, +\infty[} \frac{1}{1 + t^2}\,dt = \lim_{x \to +\infty} \arctan(x) - \lim_{x \to 0} \arctan(x)$$

Méthode alternative : sur $[0, +\infty[$, $1 + t^2 \geq 1$, donc $\dfrac{1}{1 + t^2} \leq 1$. Donc $f(t) \leq e^{-t} \ \forall t \in [0, +\infty[$ ; comme avant, comme $e^{-t}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$, alors $f$ l'est aussi. D'après la proposition, on a

$$\int_{[0, +\infty[} f(t)\,dt \leq \int_{[0, +\infty[} e^{-t}\,dt = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-t}) - \lim_{x \to 0} (-e^{-t}) = 1$$

Exemple 7.4 (Exemple 2). $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ où $f(t) = \dfrac{\arctan(t)}{t^{3/2}}$ ; on utilisera le corollaire en prenant $a = b = 1$. La fonction est positive sur $]0, +\infty[$ car $t \geq 0 \Rightarrow \arctan(t) \geq 0$, parce que $\arctan$ est monotone croissante (sa dérivée est positive) et $t^{3/2}$ est positive à $t > 0$. Si $t \in ]0, 1]$

$$f(t) = \frac{\arctan(t)}{t^{3/2}} = \frac{t + O_{t \to 0}(t^2)}{t^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{t}} + O_{t \to 0}(\sqrt{t})$$

$f(t) \leq \dfrac{1}{\sqrt{t}} + c\sqrt{t}$ sur $]0, 1]$. Mais $\dfrac{1}{\sqrt{t}} + c\sqrt{t}$ est intégrable sur $]0, 1]$ par linéarité, et $\dfrac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable, donc $c\sqrt{t}$ est intégrable.

Comparaison à une série

On utilise le théorème que l'on a développé pour montrer un critère de convergence des séries.

Théorème 7.2. Soit $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ une fonction positive décroissante et telle que $f$ est Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $[0, +\infty[$ ; alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[0, +\infty[$.

Pour DST. On remarque d'abord que $\forall n \in \mathbb{N}$

$$f(n + 1) \leq f(x) \leq f(n)$$

$x \in [n, n + 1]$, car $f$ est décroissante. D'après la monotonie de l'intégrale de Riemann, on a alors que

$$\int_n^{n+1} f(n + 1)\,dt \leq \int_n^{n+1} f(t)\,dt \leq \int_n^{n+1} f(n)\,dt$$

$$f(n + 1) \leq \int_n^{n+1} f(t)\,dt \leq f(n) \tag{6}$$

D'une part ($\Rightarrow$), supposons que la série converge : $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f(n) = M \in \mathbb{R}$. Pour tout sous-intervalle compact $[a, b]$ de $[0, +\infty[$, on a que $\exists m_1, m_2 \in \mathbb{N}$ tels que $[a, b] \subseteq [m_1, m_2]$

$$\begin{aligned} \int_a^b f(t)\,dt &= \int_{m_1}^{m_2} f(t)\,dt - \int_{m_1}^{a} f(t)\,dt - \int_b^{m_2} f(t)\,dt \leq \int_{m_1}^{m_2} f(t)\,dt \\ &= \sum_{n=m_1}^{m_2 - 1} \int_n^{n+1} f(t)\,dt \leq \sum_{n=m_1}^{m_2 - 1} f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} f(n) = M \end{aligned}$$

D'après le théorème de caractérisation de l'intégrabilité des fonctions positives, $f$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. D'autre part ($\Leftarrow$), supposons maintenant que $f$ est intégrable ; alors $\exists M \geq 0$ tel que $\forall [a, b]$ sous-intervalle compact de $[0, +\infty[$

$$\int_a^b f(t)\,dt \leq M$$

La suite $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{N} f(n)\right)_{N \in \mathbb{N}}$ est

• croissante : en effet, $\displaystyle\sum_{n=0}^{N+1} f(n) - \sum_{n=0}^{N} f(n) = f(N + 1) > 0$ car $f$ est positive ;
• majorée : $\displaystyle\sum_{n=0}^{N} f(n) = f(0) + \sum_{n=1}^{N} f(n) \leq f(0) + \sum_{n=1}^{N} \int_{n-1}^{n} f(t)\,dt = f(0) + \int_0^N f(t)\,dt \leq f(0) + M$

$$f(n + 1) \leq \int_n^{n+1} f(t)\,dt \leq f(n) \tag{7}$$

Le théorème de convergence monotone affirme alors que la suite $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{N} f(n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, donc la série converge.

Théorème 7.3. Soit $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ positive, décroissante et Riemann-intégrable sur tout sous-intervalle compact de $[0, +\infty[$ ; alors $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f(n)$ converge si et seulement si $f$ est intégrable sur $[0, +\infty[$.

Exemple 7.5. $\alpha \in \mathbb{R}, \alpha > 0$. Pour quelles valeurs de $\alpha \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ converge-t-elle ? On peut remarquer que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^\alpha}$ et appelons $f_\alpha : \begin{cases} [0, +\infty[ \to \mathbb{R} \\ f_\alpha(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^\alpha} \end{cases}$

• sur $[0, +\infty[$, $f_\alpha(x) > 0$ ;
• si $x_1, x_2 \in [0, +\infty[$, $x_1 \leq x_2 \Rightarrow x_1 + 1 \leq x_2 + 1 \Rightarrow (x_1 + 1)^\alpha \leq (x_2 + 1)^\alpha \Rightarrow \dfrac{1}{(x_2 + 1)^\alpha} \leq \dfrac{1}{(x_1 + 1)^\alpha} \Rightarrow f_\alpha(x_2) \leq f_\alpha(x_1)$, donc $f_\alpha$ est décroissante.

$f_\alpha$ est continue, donc intégrable sur tout sous-intervalle compact. On peut alors appliquer le théorème : la série converge si et seulement si $f_\alpha$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. On remarque que $f_\alpha(x) \sim \dfrac{1}{x^\alpha}$, donc $f_\alpha$ est intégrable si et seulement si $\alpha > 1$.

Remarque 7.4. On a donc $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ qui converge vers un nombre réel. Lequel ?

Remarque 7.5. On peut aussi définir la série $\tilde{\zeta}(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ avec $s \in \mathbb{C}$ et $\text{Re}(s) > 1$ (la série converge). Il existe une fonction méromorphe $\zeta$ définie sur $\mathbb{C}$ telle qu'elle coïncide avec $\tilde{\zeta}$ sur $\{\text{Re}(s) > 1\}$.

Normes et intégrales impropres

Proposition 7.6. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \underline{l} \in \mathbb{R}^n \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f_i(x) = l_i \in \mathbb{R}$

Démonstration. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = (l_1, \cdots, l_n)$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x \to a} \|f(x) - (l_1, \cdots, l_n)\|_\infty = 0$

$$\lim_{x \to a} \max |f_i(x) - l_i| = 0 \tag{8}$$

Pour tout $i = 1, \cdots, n$, on a

$$0 \leq |f_i(x) - l_i| \leq \max |f_i(x) - l_i|$$

donc si l'équation 8 est vraie, $\displaystyle\lim_{x \to a} \|f_i(x) - l_i\| = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l_i$. Inversement, si $\displaystyle\lim_{x \to a} f_i(x) = l_i$ pour tout $i$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} |f_i(x) - l_i| = 0$.

Lemme 7.1. Soit $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalle et $f : I \to \mathbb{R}^n$ une fonction Riemann-intégrable sur tout intervalle compact de $I$ ; alors $f$ est intégrable sur $I$ si et seulement si toutes les composantes de $f$ sont intégrables sur $I$.

Démonstration. Soit $f$ intégrable sur $I$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$ et $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt$ existent dans $\mathbb{R}^n$. Mais $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \underline{l} \in \mathbb{R}^n \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f_i(x) = l_i \in \mathbb{R}$. D'après une proposition du cours, $\displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,dt = \left(\int_{x_0}^{x} f_1(t)\,dt, \cdots, \int_{x_0}^{x} f_n(t)\,dt\right)$. Donc si $f$ est intégrable sur $I \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f_i(t)\,dt$ et $\displaystyle\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f_i(t)\,dt$ existent dans $\mathbb{R}$ pour tout $i = 1, \cdots, n$, si et seulement si $f_i$ est intégrable sur $I$ pour tout $i = 1, \cdots, n$. Inversement, si $\displaystyle\lim_{x \to a} f_i(x) = l_i \ \forall i$, alors $\displaystyle\lim_{x \to a} |f_i(x) - l_i| = 0 \Leftrightarrow 0 \leq \max |f_i(x) - l_i| \leq \sum_i |f_i(x) - l_i| \Leftrightarrow 0 \leq \lim_{x \to a} \max |f_i(x) - l_i| \leq \sum_i \lim_{x \to a} |f_i(x) - l_i| = 0$.

Proposition 7.7. Soit $I$ un intervalle réel, $f : I \to \mathbb{R}^n$ est Riemann-intégrable et soit $\|\cdot\|$ une norme de $\mathbb{R}^n$. Alors, si $\|f\|$ est intégrable sur $I$, alors $f$ est intégrable sur $I$

$$\left\|\int_I f(t)\,dt\right\| \leq \int_I \|f(t)\|\,dt$$

Démonstration. Par équivalence des normes, $\exists A \in \mathbb{R}_{>0}$ tel que $\|x\|_\infty \leq A \|$ MANQUE $Z |f_i|$ qui est intégrable sur $I$ ; $f_i + |f_i|$ est intégrable sur $I$, mais $f_i = (f_i + |f_i|) - |f_i|$ et donc $f_i$ est intégrable par linéarité de l'intégrabilité. Le lemme implique alors que $f$ est intégrable sur $I$, toutes ses coordonnées le sont. Fixons $x_0 \in I$. Soit $\varepsilon > 0$ ; alors $\exists x_1, x_2 \in I$ tels que

$$\left\|\int_x^{x_0} f(t)\,dt - \lim_{x \to \inf(I)} \int_{x_1}^{x_0} f(t)\,dt\right\| < \frac{\epsilon}{2}$$

$$\left\|\int_{x_0}^{x_2} - \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt\right\| < \frac{\varepsilon}{2}$$

Donc $\forall y_1, y_2 \in I$, $\inf(I) \leq y_1 \leq x_1$ et $x_2 \leq y_2 \leq \sup(I)$.

$$\begin{aligned} \left\|\int_I f(t)\,dt\right\| &= \left\|\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt\right\| \\ &= \left\|\lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} f(t)\,dt - \int_{y_1}^{x_0} f(t)\,dt + \int_{y_1}^{x_0} f(t)\,dt + \lim_{x \to \sup(I)} \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt - \int_{x_0}^{y_2} f(t)\,dt + \int_{x_0}^{y_2}\right\| \\ &\leq \epsilon + \left\|\int_{y_1}^{x_0} f(t)\,dt\right\| + \left\|\int_{x_0}^{y_2} f(t)\,dt\right\| \\ &\leq \epsilon + \int_{y_1}^{x_0} \|f(t)\|\,dt + \int_{x_0}^{y_2} \|f(t)\|\,dt \\ &\leq \epsilon + \lim_{x \to \inf(I)} \int_x^{x_0} \|f(t)\|\,dt + \lim_{y \to \sup(I)} \int_{x_0}^{y} \|f(t)\|\,dt \\ &= \epsilon + \int_I \|f(t)\|\,dt \end{aligned}$$

Exemple 7.6. $f(x) = \sin(\log(x))$ est intégrable sur $]0, 1]$ car on a vu que $|\sin(\log(x))|$ est intégrable sur $]0, 1]$. Le théorème qu'on vient de prouver dit que si MANQUE

Remarque 7.6. La réciproque dans le théorème précédent est fausse ; voir par exemple

$$\begin{cases} f : [\pi, +\infty[ \to \mathbb{R} \\ f(t) = \dfrac{\sin(t)}{t} \end{cases}$$

La fonction $f$ est intégrable sur $[\pi, +\infty[$, mais $|f|$ ne l'est pas. Si $f$ est intégrable sur $[\pi, +\infty[$

$$\int_\pi^x f(t)\,dt = \int_\pi^x \frac{\sin(t)}{t}\,dt = \left[-\frac{\cos(t)}{t}\right]_\pi^x - \int_\pi^x \frac{\cos(t)}{t^2}\,dt = \frac{-\cos(x)}{x} - \frac{1}{\pi} - \int_\pi^x \frac{\cos(t)}{t^2}\,dt$$

Mais $\left|\dfrac{\cos(t)}{t^2}\right| \leq \dfrac{1}{t^2}$, qui est intégrable sur $[\pi, +\infty[$, donc intégrable sur $[\pi, +\infty[$ ; donc par comparaison et par le théorème, $\dfrac{\cos(t)}{t^2}$ est intégrable sur $[\pi, +\infty[$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_\pi^x \frac{\cos(t)}{t^2}\,dt$ existe, finie. Alors $\displaystyle\int_\pi^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to \infty$, donc elle est intégrable sur $[0, +\infty[$. En effet, pour $n \in \mathbb{N}$

$$\begin{aligned} \int_\pi^{n\pi} |f(t)|\,dt &= \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\,dt \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin(t)|}{t}\,dt \\ &= \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{(-1)^k \sin(t)}{t}\,dt \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{(k + 1)\pi} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin(t)\,dt \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{(k + 1)\pi} (\cos(k\pi) - \cos((k + 1)\pi)) \\ &= \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 + k} \to \infty \end{aligned}$$

Donc $\forall M > 0$, il existe un intervalle compact $[\pi, n\pi]$ tel que $\displaystyle\int_\pi^{n\pi} |f(t)|\,dt > M$. Donc, par caractérisation de l'intégrabilité d'une fonction positive, $|f|$ n'est pas intégrable sur $[\pi, +\infty[$.

Limites et intégrales

Le but de cette section est de savoir si, étant donné une suite de fonctions, on a

$$\lim_{n \to \infty} \int_I f_n(t)\,dt = \int_I \lim_{n \to +\infty} f_n(t)\,dt$$

Exemple 8.1. Soit, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n(t) = \begin{cases} 1 & \text{sur } [n, n + 1] \\ 0 & \text{autrement} \end{cases}$. Pour tout $t \in [0, +\infty[$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f_n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n \equiv 0$. On a donc

$$\lim_{n \to \infty} \int_{[0, +\infty[} f_n(t)\,dt = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 = \int_{[0, +\infty[} \lim_{N \to \infty} f_n(t)\,dt$$

L'égalité n'est pas toujours vraie. Par contre, on a un théorème nous donnant des conditions pour pouvoir conclure.

Théorème 8.1 (Convergence dominée de Lebesgue). Soient $I$ un intervalle réel, $f, f_l : I \to \mathbb{R}^n$ des fonctions Riemann-intégrables sur chaque sous-intervalle compact de $I$, $\forall l \in \mathbb{N}$. On suppose qu'il existe une fonction $g : I \to \mathbb{R}$ intégrable sur $I$ telle que $\|f_l(t)\| \leq g(t) \ \forall t \in I$ (avec $\|\cdot\|$ une norme arbitraire de $\mathbb{R}^n$). Supposons que $\forall t \in I$, $\displaystyle\lim_{l \to \infty} f_l(t) = f(t)$. Alors les fonctions $f_l$ et $f$ sont intégrables sur $I$ et on a

$$\lim_{l \to \infty} \int_I f_l(t)\,dt = \int_I f(t)\,dt$$