Calcul différentiel des fonctions vectorielles

Notations et conventions. On note $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers positifs, $\mathbb{Z}$ l'ensemble des entiers, $\mathbb{Q}$ l'ensemble des rationnels $\cdots$

Définition 0.1. Une fonction vectorielle définie sur un intervalle (réel) $I$ est une fonction $f : I \to \mathbb{R}^n$ avec $n \in \mathbb{N}_{\geq 0}$.

Remarque 0.1. Si $n = 1$, on a des fonctions "numériques" classiques, c'est-à-dire des fonctions réelles à variable réelle.

Exemple 0.1. $f : [0, 1] \to \mathbb{R}^3$, avec $f(t) = (1, t) \ \forall t \in [0, 1]$ ; $g : [0, 1] \to \mathbb{R}^3$, avec $g(t) = (\cos(t), \exp(-\arctan(t)), t^2 + 2)$. Il sera utile d'écrire une fonction vectorielle en termes de ses coordonnées. Plus précisément, si $f : I \to \mathbb{R}^n$, alors $f(t) = (f_1(t), \dots, f_n(t))$ avec $f_i : I \to \mathbb{R} \ \forall i = 1, \cdots, n$, avec $f_i := \pi_i \circ f$ où $\pi_i : \begin{cases} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \\ (x_1, \cdots, x_n) \mapsto x_i \end{cases}$ pour tout $i = 1, \cdots, n$.

Remarque 0.2 (Idée). Développer un calcul différentiel (continuité, dérivabilité, intégration) pour des fonctions vectorielles.

Continuité des fonctions vectorielles

Remarque 1.1. Une norme sur $\mathbb{R}^n$ est une application $\|.\| : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^+$ avec

1. $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ;
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\| \ \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in \mathbb{R}^n$ ;
3. $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \ \forall x, y \in \mathbb{R}^n$.

Remarque 1.2. Nous rappelons les définitions suivantes :

• $\|(x_1, \cdots, x_n)\|_p = \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} |x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}$ ;
• $\|(x_1, \cdots, x_n)\|_1 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} |x_i|$ ;
• $\|(x_1, \cdots, x_n)\|_\infty = \displaystyle\max_{i = 1, \cdots, n} |x_i|$.

Exemple 1.1. Une norme sur $\mathbb{R}^n$ donne une distance sur $\mathbb{R}^n$, $(d_{\|.\|}(x, y) = \|x - y\|)$, donc une notion d'"être proche".

Proposition 1.1. Toutes les normes sur $\mathbb{R}^n$ sont équivalentes, c'est-à-dire que la notion d'"être proche" dans $\mathbb{R}^n$ ne dépend pas du choix de la norme sur $\mathbb{R}^n$.

Définition 1.1. Soit $\|.\|$ une norme sur $\mathbb{R}^n$. Une fonction vectorielle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est continue en $x_0 \in I$ si $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0$ tel que

$$\forall x \in I, \ |x - x_0| < \delta \text{ alors } \|f(x) - f(x_0)\| < \epsilon$$

Remarque 1.3. La définition ne dépend pas du choix de $\|.\|$ grâce à la proposition précédente.

Définition 1.2. $f : I \to \mathbb{R}^n$ est dite continue sur $I$ si $f$ est continue en $x_0$, $\forall x_0 \in I$.

Proposition 1.2. Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$, alors $f$ est continue si et seulement si toute coordonnée de $f$ est continue.

Démonstration. D'une part ($\Rightarrow$), considérons $\pi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ la $i$-ème projection. Elle est une fonction continue (au sens topologique). Alors $f_i = \pi_i \circ f$, donc $f_i$ est continue étant composition de fonctions continues (preuve alternative, plus directe, en TD). D'autre part ($\Leftarrow$), on suppose que $f = (f_1, \cdots, f_n)$ et $f_1, \cdots, f_n$ sont continues en $x_0 \in I$ ($f_i : I \to \mathbb{R}$). Par définition, $\forall \epsilon > 0, \exists \delta_i > 0$, $|x - x_0| < \delta_i \Rightarrow |f_i(x) - f_i(x_0)| < \dfrac{\epsilon}{n}$. On veut prouver que $f$ est continue en choisissant par exemple la norme 1, $\|.\|_1$. Soit $\epsilon > 0$ et prenons $\delta = \min \delta_i > 0$, alors si $|x - x_0| < \delta$

$$\begin{aligned} &\Rightarrow |x - x_0| < \delta_i \ \forall i = 1, \cdots, n \\ &\Rightarrow |f_i(x) - f_i(x_0)| < \frac{\epsilon}{n} \ \forall i = 1, \cdots, n \\ &\Rightarrow \|f(x) - f(x_0)\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |f_i(x) - f_i(x_0)| < \epsilon \end{aligned}$$

donc $f$ est continue en $x_0$.

Exemple 1.2. $f : [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ et $t \mapsto (1, t)$ est continue.

Exemple 1.3. $g : \begin{cases} [0, 1] \to \mathbb{R}^2 \\ t \mapsto (\delta_0, t) \end{cases}$ n'est pas continue (symbole de Kronecker). Il suffit d'avoir une composante non continue pour ne pas avoir continuité de la fonction vectorielle.

Dérivabilité des fonctions vectorielles

Définition 2.1. Une fonction vectorielle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est dite dérivable en $x_0 \in I$ si la limite

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

existe dans $\mathbb{R}^n$. Dans ce cas, la limite s'appelle la dérivée de $f$ en $x_0$ et elle est notée $f'(x_0) \in \mathbb{R}^n$. La fonction $f$ est dite dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x_0 \in I$.

Remarque 2.1. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = v$ si $\left\|\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - v\right\| \to 0$, peu importe quelle norme $\|.\|$ de $\mathbb{R}^n$.

Proposition 2.1. $f : I \to \mathbb{R}^n$ est dérivable en $x_0 \in I$ si et seulement si chaque coordonnée est dérivable en $x_0$, et on a

$$f'(x_0) = (f'_1(x_0), \cdots, f'_n(x_0))$$

Démonstration. D'une part ($\Rightarrow$), soit $f$ dérivable en $x_0$, $f'(x_0) = ((f'(x_0))_1, \cdots, (f'(x_0))_n)$. La définition de limite (avec la norme $\|.\|_\infty$) nous dit que

$$\left\| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - ((f'(x_0))_1, \cdots, (f'(x_0))_n) \right\|_\infty \to 0$$

De plus

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \left( \frac{f_1(x) - f_1(x_0)}{x - x_0}, \cdots, \frac{f_n(x) - f_n(x_0)}{x - x_0} \right)$$

On a donc, par la définition de $\|.\|_\infty$,

$$\max_{i = 1, \cdots, n} \left| \frac{f_i(x) - f_i(x_0)}{x - x_0} - (f'(x_0))_i \right| \to 0$$

donc en particulier

$$\left| \frac{f_i(x) - f_i(x_0)}{x - x_0} - f'(x_0)_i \right| \to 0 \qquad \frac{f_i(x) - f_i(x_0)}{x - x_0} \to (f'(x_0))_i \in \mathbb{R}$$

donc $f_i$ est dérivable en $x_0$.

$$f'_i(x_0) = (f'(x_0))_i \quad \forall i = 1, \cdots, n$$

Donc $f'(x_0) = f$ donc la limite

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = (f'_1(x_0), \cdots, f'_n(x_0)) \in \mathbb{R}^n$$

$f$ est dérivable en $x_0$ et de dérivée

$$f'(x_0) = (f'_1(x_0), \cdots, f'_n(x_0))$$

D'autre part ($\Leftarrow$), supposons que $\forall i = 1, \cdots, n$, $f_i$ est dérivable en $x_0$ de dérivée $f'_i(x_0)$. Choisissons $\|.\|_\infty$

$$\left\| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - (f'_1(x_0) \cdots f'_n(x_0)) \right\|_\infty = \max_i \left| \frac{f_i(x) - f_i(x_0)}{x - x_0} - f'_i(x_0) \right| \to 0$$

donc la limite $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = (f'_1(x_0) \cdots f'_n(x_0))$, donc $f$ est dérivable en $x_0$ et de dérivée

$$f'(x_0) = (f'_1(x_0) \cdots f'_n(x_0))$$

Remarque 2.2. On peut définir aussi les dérivées à droite et à gauche des fonctions vectorielles. Encore une fois, on a les liens avec les dérivées à droite et à gauche des coordonnées.

Proposition 2.2. Soient les propriétés suivantes :

1. Soient $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ avec $f, g$ dérivables en $x_0 \in I$ et soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Alors $\alpha f + \beta g$ est dérivable en $x_0$ et $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)$ (linéarité de la dérivée).

2. Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ avec $I$ intervalle ouvert. Si $f'(x) = 0 \ \forall x \in I$, alors $f$ est (un vecteur) constant.

3. Soient $I, J$ deux intervalles réels, $\phi : I \to J$ dérivable sur $I$ et $f : J \to \mathbb{R}^n$ dérivable. Alors $f \circ \phi : I \to \mathbb{R}^n$ est dérivable et de dérivée

   $$(f \circ \phi)'(x) = \phi'(x) f'(\phi(x))$$

   pour tout $x \in I$.

Démonstration.

1. Il suffit de vérifier que toutes les coordonnées de $\alpha f + \beta g$ sont dérivables. Mais $(\alpha f + \beta g)_i = \alpha f_i + \beta g_i$, $\forall i = 1, \cdots, n$. Mais $f_i$ et $g_i$ sont dérivables. $\alpha f_i + \beta g_i$ est dérivable, selon le cours d'Analyse 1. Donc $\alpha f + \beta g$ est dérivable et de dérivée

   $$(\alpha f'_1 + \beta g'_1, \cdots, \alpha f'_n + \beta g'_n) = \alpha (f'_1, \cdots, f'_n) + \beta (g'_1, \cdots, g'_n) = \alpha f' + \beta g'$$

2. Exercice.

3. Exercice.

Et pour le produit ? Mieux vaut considérer des formes bilinéaires.

Proposition 2.3. Soient $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ dérivables en $x_0 \in I$ et soit $b : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une forme bilinéaire, alors $b(f, g) : I \to \mathbb{R}$

$$b(f, g) : x \mapsto b(f(x), g(x))$$

est dérivable en $x_0$ et de dérivée

$$(b(f, g))'(x_0) = b(f'(x_0), g(x_0)) + b(f(x_0), g'(x_0))$$

Démonstration. Voir en TD.

Exemple. Pour $n = 1$ et $b : \begin{cases} \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ (x, y) \mapsto xy \end{cases}$, on a $b(f, g) = fg$, donc l'énoncé coïncide avec celui d'Analyse 1 pour le produit.

Exemple. Soit $\langle \cdot, \cdot \rangle$ le produit scalaire standard sur $\mathbb{R}^n$ ($\|x\|_2 = \sqrt{\langle x, x \rangle} \ \forall x \in \mathbb{R}^n$) et soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ dérivable. Calculer la dérivée de $\|f\|_2 : \begin{cases} I \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \|f(x)\|_2 \end{cases}$. On a que

• $\langle f, f \rangle : I \to \mathbb{R}$ est dérivable sur $I$ ;
• $\phi$ est dérivable sur $\mathbb{R}^+$. Donc d'après Analyse 1, on a que $\|f\|_2 = \phi \circ (\langle f, f \rangle)$ est dérivable pour $x$ tel que $\langle f(x), f(x) \rangle \neq 0 \Leftrightarrow f(x) \neq 0$, et la dérivée est

$$\begin{aligned} (\|f\|_2)'(x) &= (\langle f, f \rangle)'(x) \cdot \phi'(\langle f, f \rangle(x)) \\ &= (\langle f', f \rangle + \langle f, f' \rangle)(x) \times \frac{1}{2\sqrt{\langle f, f \rangle(x)}} \\ &= 2 \langle f, f' \rangle(x) \times \frac{1}{2\|f(x)\|_2} \\ &= \frac{\langle f(x), f'(x) \rangle}{\|f(x)\|_2} \end{aligned}$$

Fonctions de classe $C^k$ par morceaux

Fonctions de classe $C^k$

On supposera toujours $I$ ouvert et non vide.

Définition 3.1. Une fonction vectorielle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est dite de classe $C^k$ sur $I$ si $f$ est $k$ fois dérivable sur $I$ et la dérivée $k$-ième $f^{(k)}$ est continue. On écrira $f \in C^k(I, \mathbb{R}^n)$.

Remarque 3.1. $C^0(I, \mathbb{R}^n) = \{f : I \to \mathbb{R}^n \text{ continue}\}$.

Remarque 3.2. Si $l \geq k$, $C^l(I, \mathbb{R}^n) \subseteq C^k(I, \mathbb{R}^n)$. En fait, soit $f \in C^l(I, \mathbb{R}^n)$ : $f$ est $l$ fois dérivable, donc $f$ est $k$ fois dérivable. Il reste à prouver que $f^{(k)}$ est continue, mais

• si $l = k$, trivial ;
• si $k < l$, $f^{(k)}$ est dérivable (parce que $f$ admet la dérivée d'ordre $k + 1$), mais dérivable implique continue.

Remarque 3.3. On peut aussi donner la définition de $C^k$ par récurrence sur $k$, c'est-à-dire

• $f$ est de classe $C^0$ si $f$ est continue ;
• $f$ est de classe $C^{k+1}$ (avec $k \geq 0$) si $f$ est dérivable et $f' \in C^k$.

Définition 3.2. Une fonction vectorielle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est dite de classe $C^\infty$ sur $I$ si $f$ est de classe $C^k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. On écrira $f \in C^\infty(I, \mathbb{R}^n)$.

Remarque 3.4. $C^\infty(I, \mathbb{R}^n) = \displaystyle\bigcap_{k \in \mathbb{N}} C^k(I, \mathbb{R}^n)$.

Exemple 3.1. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) := \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

$$f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad f'(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Exemple 3.2.

$$f : \begin{cases} \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^2 \\ x \mapsto (\log(x); x^2 + \sin(x)) \end{cases}$$

Corollaire 3.1. $f : I \to \mathbb{R}^n$ est de classe $C^k$ sur $I$ ; c'est équivalent à dire que chaque coordonnée de $f$ est de classe $C^k$.

Proposition 3.1.

1. $C^k(I, \mathbb{R}^n)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\forall k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$.
2. Si $f \in C^k(I, \mathbb{R})$ et $g \in C^k(I, \mathbb{R}^n)$, alors le produit $fg = (fg_1, \cdots, fg_n)$ est dans $C^k(I, \mathbb{R}^n)$.
3. Si $f \in C^k(I, \mathbb{R}^n)$, $\phi \in C^k(J, I)$ avec $J, I$ intervalles ouverts réels, alors $f \circ \phi \in C^k(J, \mathbb{R}^n)$.

Démonstration.

1. Exercice (utiliser le corollaire).
2. …
3. On utilise la définition par récurrence sur $k$.
   • $k = 0$ (la composition de fonctions continues est continue).
   • Supposons que le résultat est vrai pour $k$ fixé positif. On le prouve pour $k + 1$. $f$ et $\phi$ sont dérivables, donc $f \circ \phi$ est dérivable et $(f \circ \phi)'(x) = \phi'(x) \cdot f'(\phi(x)) \ \forall x \in J$, donc par hypothèse de récurrence $f' \circ \phi \in C^k(J, \mathbb{R}^n)$. D'autre part, on utilise 2) pour déduire que $(f \circ \phi)' = \phi'(f' \circ \phi)$ est de classe $C^k$, donc par définition $f \circ \phi \in C^{k+1}(J, \mathbb{R}^n)$.

$C^k$-difféomorphismes

Dans cette section, on s'intéresse uniquement à des fonctions réelles de variables réelles.

Définition 3.3. Soient $I, J$ deux intervalles ouverts réels. Une fonction $f : I \to J$ est dite un $C^k$-difféomorphisme (avec $k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$) si

1. $f$ est bijective ;
2. $f \in C^k(I, J)$ ;
3. $f^{-1} \in C^k(J, I)$.

Exemple 3.3. $\exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ est bijective, de réciproque $\log : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$. Comme $\exp \in C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}^+)$ et $\log \in C^\infty(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$, alors $\exp$ est un $C^\infty$-difféomorphisme de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}^+$.

Proposition 3.2. Soient $I$ un intervalle ouvert réel et $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^k(I, \mathbb{R})$ avec $k \geq 1$. Alors « $f$ est un $C^k$-difféomorphisme de $I$ vers $f(I)$ » est équivalent à « $f'(x) \neq 0 \ \forall x \in I$ ».

Démonstration. D'une part ($\Rightarrow$), si $f$ est un $C^k$-difféomorphisme, alors en particulier $f$ est inversible, donc il existe $f^{-1}$ avec $f^{-1} \circ f = \text{id}$. Or, $(f^{-1} \circ f)(x) = x \ \forall x \in I$. Mais, d'après la définition de $C^k$-difféomorphisme et comme $k \geq 1$, $f, f^{-1}$ sont dérivables, donc $1 = (f^{-1} \circ f)'(x) = (f^{-1})'(f(x)) \cdot f'(x) \ \forall x \in I \Rightarrow f'(x) \neq 0 \ \forall x \in I$. D'autre part ($\Leftarrow$), il faut prouver que

• $f$ est bijective ;
• $f \in C^k(I, f(I))$ (déjà vérifié par hypothèse) ;
• $f^{-1} \in C^k(f(I), I)$.

Prouvons d'abord que $f$ est bijective sur son image : comme $f \in C^1(I, \mathbb{R})$, $f'$ est continue sur $I$, mais par hypothèse $f'(x) \neq 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f'(x) > 0 \ \forall x \in I$ ou $f'(x) < 0 \ \forall x \in I$, ainsi $f$ est strictement monotone et donc $f$ est bijective sur son image $f(I)$. Donc il existe $f^{-1} : f(I) \to I$. On va prouver que $f^{-1} \in C^k(f(I), I)$. On voit d'après Analyse 1 que $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$, de dérivée

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$

Pour prouver que $f^{-1} \in C^k(f(I), I)$, on peut prouver que $(f^{-1})' \in C^{k-1}(f(I), I)$, mais

$$(f^{-1})' = \frac{1}{f'(f^{-1})}$$

Par récurrence, $f^{-1} \in C^k$.

• $k = 0$ implique $f^{-1}$ est continue (Analyse I).
• Supposons que $f^{-1} \in C^l$ ($k > l \geq 0$) ; prouvons que $f^{-1} \in C^{l+1}$. Si $f^{-1} \in C^l$, $f' \in C^{k-1} \subseteq C^l \Rightarrow f' \circ f^{-1} \in C^l \Rightarrow \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}} \in C^l \Rightarrow (f^{-1})' \in C^l \Rightarrow f^{-1} \in C^{l+1}$.

Comme on peut utiliser la récurrence pour tout $l < k$, on obtient (à la dernière étape) $f^{-1} \in C^k(f(I), I)$.

Fonctions de classe $C^k$ par morceaux

Définition 3.4. Une fonction $f : (a, b) \to \mathbb{R}^n$ avec $a, b \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ est dite de classe $C^k$ par morceaux sur $(a, b)$ (avec $k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$) s'il existe $a_0, \cdots, a_r \in [a, b]$ tels que $a_0 = a < a_1 < \cdots < a_{r-1} < a_r = b$ avec

1. $f_{|]a_i, a_{i+1}[} \in C^k(]a_i, a_{i+1}[, \mathbb{R}^n) \ \forall i = 0, \cdots, r - 1$ ;
2. la limite à droite de $f$ et la limite à gauche de $f$ sont finies en tout point de discontinuité.

Proposition 3.3. Soit $f : I \to \mathbb{R}^n$ avec $I$ un intervalle réel ouvert, $f \in C^0(I, \mathbb{R}^n)$. Alors « $f$ constante » est équivalent à « $f'(x) = 0 \ \forall x$ où $f$ est dérivable ».

Démonstration. D'une part ($\Rightarrow$), trivial. D'autre part ($\Leftarrow$), on sait qu'il existe $a_0, \cdots, a_{r-1}$ avec $f$ dérivable (et de dérivée nulle) sur chaque $]a_i, a_{i+1}[$, $i \in \{0, \cdots, r - 1\}$, alors $f_{|]a_i, a_{i+1}[}(x) = c_i$ pour tout $i \in \{0, \cdots, r - 1\}$ avec $c_i \in \mathbb{R}^n$. Mais $f$ est continue, donc $\forall i \in \{1, \cdots, r - 1\}$, $c_{i-1} = \displaystyle\lim_{x \to a_i^-} f(x) = \lim_{x \to a_i^+} f(x) = c_i$. Donc $c_0 = c_1 = \cdots = c_{r-1} = c$. Alors $f(x) = c$ sur $I$.