Formules de Taylor

Étudier une fonction $f$ peut être "difficile". L'idée des formules de Taylor est d'approximer une fonction $f$ avec des fonctions polynomiales. Si $f$ est assez régulière en un point, on pourra le faire localement. Pour formaliser l'idée, on peut définir la notion suivante.

Définition 5.1. Soit $I$ un intervalle (ouvert) de $\mathbb{R}$, $x_0 \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^N$ qui est dérivable $n$ fois en $x_0$. Alors le polynôme de $f$ de degré $n$ autour de $x_0$ est

$$P_{f, n, x_0} = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k$$

Par exemple, $P_{f, 0, x_0} = f(x_0)$ ; si $f$ est dérivable une fois

$$P_{f, 1, x_0} = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

Exemple 5.1 (Graphique). Soit $f(x) = e^x$. Représenter le graphe de $f$, de $P_{f, 0, 0}$, $P_{f, 1, 0}$, $P_{f, 2, 0}$ (ils existent parce que $f$ est dérivable un nombre infini de fois en $x_0$). $P_0 = 1$, $P_1 = 1 + x$, $P_2 = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$.

Théorème 5.1 (Polynôme de Taylor avec reste intégral). Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $x_0 \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^n$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ et de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ par morceaux sur $I$, pour $n \in \mathbb{N}$. Alors

$$f(x) - P_{f, n, x_0}(x) = \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^n}{n!} \tilde{f}^{(n+1)}(t)\,dt \quad \forall x \in I$$

Démonstration. Par récurrence sur $n$.

• Pour $n = 0$ : la fonction $f$ est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $I$

  $$f(x) - P_{f, 0, x_0}(x) = f(x) - f(x_0) = \int_{x_0}^{x} \tilde{f}'(t)\,dt$$

• Supposons la propriété vraie pour tout $k \leq n$ et prouvons-la pour $n + 1$. Soit alors $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et de classe $\mathcal{C}^{n+2}$ par morceaux sur $I$. Alors

  $$\begin{aligned} f(x) - P_{f, n+1, x_0}(x) &= f(x) - \sum_{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k \\ &= f(x) - \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n+1}\right) \\ &= f(x) - P_{f, n, x_0}(x) - \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n+1} \\ &= \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^n}{n!} \tilde{f}^{(n+1)}(t)\,dt - \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n+1} \end{aligned}$$

  La dernière égalité est obtenue par hypothèse de récurrence ($f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$, donc de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ et de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ par morceaux sur $I$). On remarque que $\tilde{f}^{(n+1)} = f^{(n+1)}$ car $f \in \mathcal{C}^{n+1}(I, \mathbb{R}^n)$, et $f$ est $\mathcal{C}^{n+2}$ par morceaux, donc $f^{(n+1)}$ est continue et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $I$. La formule d'intégration par parties nous donne alors

  $$\begin{aligned} f(x) - P_{f, n+1, x_0}(x) &= \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,dt - \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n+1} \\ &= \left[-\frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(t)\right]_{x_0}^{x} - \int_{x_0}^{x} -\frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} \tilde{f}^{(n+2)}(t)\,dt - \frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n+1} \\ &= \frac{(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(x_0) + \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} \tilde{f}^{(n+2)}(t)\,dt - \frac{(x - x_0)^{n+1}}{(n + 1)!} f^{(n+1)}(x_0) \\ &= \int_{x_0}^{x} \frac{(x - t)^{n+1}}{(n + 1)!} \tilde{f}^{(n+2)}(t)\,dt \end{aligned}$$

Théorème 5.2 (Inégalité de Taylor-Lagrange). Soit $I$ un intervalle ouvert, $x_0 \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^N$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ et de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ par morceaux sur $I$. Alors il existe $c > 0$ tel que $\|\tilde{f}^{(n+1)}(x)\| < c \ \forall x \in [a, b]$, avec $x_0 \in [a, b]$, et

$$\|f(x) - P_{f, n, x_0}(x)\| \leq \frac{|x - x_0|^{n+1}}{(n + 1)!} c \qquad x \in [a, b]$$

(pour n'importe quel choix de norme $\|.\|$ sur $\mathbb{R}^n$)

Démonstration. Comme $f \in \mathcal{CM}^{n+1}(I, \mathbb{R}^n)$, alors $f^{(n+1)}$ est une fonction continue par morceaux sur $[a, b]$, donc $\tilde{f}^{(n+1)}$ est bornée sur $[a, b]$ ; alors $\exists c > 0$ tel que $\|\tilde{f}^{(n+1)}(x)\| \leq c \ \forall x \in [a, b]$. Supposons d'abord que $x \in [a, b]$ est tel que $x_0 \geq x$ ; grâce au théorème 5.1 :

$$\begin{aligned} \|f(x) - P_{f, n, x_0}(x)\| &= \left\|-\int_x^{x_0} \frac{(x - t)^n}{n!} \tilde{f}^{(n+1)}(t)\,dt\right\| \\ &\leq \int_x^{x_0} \left\|\frac{(x - t)^n}{n!} \tilde{f}^{(n+1)}(t)\right\| dt \\ &= \int_x^{x_0} \frac{|x - t|^n}{n!} \|\tilde{f}^{(n+1)}(t)\|\,dt \\ &\leq \int_x^{x_0} \frac{(t - x)^n}{n!} c\,dt \\ &= c \int_x^{x_0} \frac{(t - x)^n}{n!}\,dt \\ &= c \left[\frac{(t - x)^{n+1}}{(n + 1)!}\right]_x^{x_0} \\ &= c \frac{(x_0 - x)^{n+1}}{(n + 1)!} \\ &= c \frac{|x - x_0|^{n+1}}{(n + 1)!} \end{aligned}$$

Corollaire 5.1 (cas particulier du théorème de Taylor-Young). Soit $I$ un intervalle (ouvert) réel, $f : I \to \mathbb{R}^N$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ et de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ par morceaux sur $I$ ; alors $f(x) = P_{f, n, x_0}(x) + (x - x_0)^n \cdot \epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \epsilon(x) = 0$ (c'est-à-dire $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \|\epsilon(x)\| = 0$).

Démonstration. Il suffit d'écrire $\epsilon(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x) - P_{f, n, x_0}(x)}{(x - x_0)^n} & \text{si } x \neq x_0 \\ 0 \end{cases}$. On a que

$$\lim_{x \to x_0} \|\epsilon(x)\| = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{|x - x_0|^n} \|f(x) - P_{f, n, x_0}(x)\| \leq \lim_{x \to x_0} \frac{c}{(n + 1)!} |x - x_0|^{n+1} \frac{1}{|x - x_0|^n}$$

Remarque 5.1. Ce corollaire justifie formellement l'intuition que $P_{f, n, x_0}$ est une bonne approximation de $f$ autour de $x_0$. On écrit aussi que $f(x) - P_{f, n, x_0}(x)$ est $o(|x - x_0|^n)$ ou $O(|x - x_0|^{n+1})$.

Remarque 5.2. Les hypothèses du corollaire ne sont pas les moins fortes possibles (théorème de Taylor-Young).