Algèbre
Le cours d'algèbre du semestre 3, sous la responsabilité de Nicolas Popoff, commence par des rappels d'algèbre linéaire : bases, sommes directes, projecteurs, rang, dualité, trace et matrices par blocs. Il construit ensuite le déterminant à partir des formes multilinéaires alternées, avec ses méthodes de calcul et les formules de Cramer. Le cœur du cours porte sur la réduction des endomorphismes : valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalisation, polynômes annulateurs et théorème de Cayley-Hamilton, trigonalisation, puis application aux suites récurrentes linéaires et aux systèmes d'équations différentielles linéaires, jusqu'à l'exponentielle de matrice. La dernière partie traite des espaces euclidiens : produit scalaire, orthogonalité et projection orthogonale, endomorphismes symétriques et orthogonaux, et diagonalisation des matrices symétriques dans une base orthonormée.
Notes de cours
Cours5 pages
- Rappels d'algèbre linéaireFamilles libres et génératrices, bases, sommes directes et projecteurs, rang et théorème du rang, dualité, trace, matrices par blocs et sous-espaces stables.
- DéterminantsFormes n-linéaires alternées, déterminant d'une famille, d'un endomorphisme et d'une matrice, opérations sur les lignes et colonnes, développement par rapport à une ligne ou une colonne, calculs par blocs, formules de Cramer et déterminant de Vandermonde.
- Réduction des endomorphismesRéduction des endomorphismes et de leurs matrices : valeurs et vecteurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique, multiplicité, diagonalisation, polynômes annulateurs, théorème de Cayley-Hamilton, trigonalisation et application aux suites récurrentes linéaires.
- Équations différentielles linéairesSystèmes différentiels linéaires et application de la réduction des matrices : théorème de Cauchy-Lipschitz, structure des solutions, wronskien, cas diagonalisable et trigonalisable, exponentielle de matrice et équations d'ordre p.
- Espaces vectoriels euclidiensEspaces vectoriels euclidiens et préhilbertiens : produit scalaire, inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski, orthogonalité, bases orthonormées, projection orthogonale, adjoint, endomorphismes symétriques et orthogonaux, réduction des matrices symétriques et distance à un sous-espace.
Ressources
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