Analyse
Le cours d'analyse du semestre 3, sous la responsabilité de Laurent Michel, commence par les séries numériques : convergence et convergence absolue, séries à termes positifs, comparaison avec les intégrales, critères de Cauchy et de d'Alembert, séries alternées et produit de Cauchy. Il introduit ensuite les espaces vectoriels normés (normes équivalentes, produit scalaire, ouverts et fermés, suites, complétude, continuité et norme des applications linéaires continues), puis les suites et séries de fonctions, avec les convergences simple, uniforme et normale et les théorèmes de passage à la limite. Il se termine par les séries entières : rayon de convergence, dérivation terme à terme et fonctions développables en série entière.
Notes de cours
Cours4 pages
- Séries numériquesRappels sur les suites, convergence et convergence absolue, séries à termes positifs, comparaison série-intégrale, séries de Riemann, critères de Cauchy et de d'Alembert, séries alternées et produit de Cauchy.
- Espaces vectoriels normésNormes et normes équivalentes, distance, produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz, ouverts, fermés, intérieur et adhérence, suites, complétude, dimension finie, limites et continuité, continuité des applications linéaires et norme subordonnée.
- Suites et séries de fonctionsConvergence simple et uniforme, critère de Cauchy uniforme, théorème de la double limite, continuité, intégration et dérivation de la limite, convergence normale.
- Séries entièresLemme d'Abel, rayon de convergence, théorème de Cauchy-Hadamard, somme et dérivation terme à terme, fonctions développables en série entière et formule de Taylor avec reste intégral.
Ressources
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