Travail et puissance
Travail élémentaire
Soit M M ′ → \overrightarrow{MM'} M M ′
δ W = f ⃗ ⋅ M M ′ → = f ⃗ ⋅ d O M → = f ⃗ ⋅ v ⃗ d t \delta W = \vec{f} \cdot \overrightarrow{MM'} = \vec{f} \cdot \overrightarrow{dOM} = \vec{f} \cdot \vec{v}\,dt δ W = f ⋅ M M ′ = f ⋅ d O M = f ⋅ v d t On peut utiliser cette formule dans n'importe quel système de coordonnées.
Travail au cours d'un déplacement fini
W M 1 → M 2 ( f ⃗ ) = ∫ M 1 M 2 f ⃗ ⋅ d O M → = ∫ t 1 t 2 f ⃗ ⋅ v ⃗ d t W_{M_1 \to M_2}(\vec{f}) = \int_{M_1}^{M_2} \vec{f} \cdot d\overrightarrow{OM} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{f} \cdot \vec{v}\,dt W M 1 → M 2 ( f ) = ∫ M 1 M 2 f ⋅ d O M = ∫ t 1 t 2 f ⋅ v d t Puissance moyenne et instantanée
P ˉ = W Δ t \bar{P} = \dfrac{W}{\Delta t} P ˉ = Δ t W P = δ W d t = f ⃗ ⋅ v ⃗ P = \dfrac{\delta W}{dt} = \vec{f} \cdot \vec{v} P = d t δ W = f ⋅ v
Théorème de l'énergie cinétique
Théorème
On se place dans le cas où la masse est constante : F ⃗ = m a ⃗ ⇒ d W = f ⃗ ⋅ v ⃗ d t = m d v ⃗ d t ⋅ v ⃗ d t = m v ⃗ ⋅ d v ⃗ = d ( 1 2 m v ⃗ 2 ) \vec{F} = m\vec{a} \Rightarrow dW = \vec{f} \cdot \vec{v}\,dt = m\dfrac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}\,dt = m\vec{v} \cdot d\vec{v} = d\left(\dfrac{1}{2} m\vec{v}^2\right) F = m a ⇒ d W = f ⋅ v d t = m d t d v ⋅ v d t = m v ⋅ d v = d ( 2 1 m v 2 )
E c = 1 2 m v 2 ⇔ δ W = d E c E_c = \frac{1}{2} mv^2 \Leftrightarrow \delta W = dE_c E c = 2 1 m v 2 ⇔ δ W = d E c De plus,
W M 1 → M 2 ( f ⃗ ) = E c ( t 2 ) − E c ( t 1 ) = ∫ M 1 M 2 δ W W_{M_1 \to M_2}(\vec{f}) = E_c(t_2) - E_c(t_1) = \int_{M_1}^{M_2} \delta W W M 1 → M 2 ( f ) = E c ( t 2 ) − E c ( t 1 ) = ∫ M 1 M 2 δ W et
d E c d t = ∑ P ( f ⃗ ) = ∑ f ⃗ ⋅ v ⃗ = δ W d t \frac{dE_c}{dt} = \sum P(\vec{f}) = \sum \vec{f} \cdot \vec{v} = \frac{\delta W}{dt} d t d E c = ∑ P ( f ) = ∑ f ⋅ v = d t δ W Remarques importantes
On notera que l'énergie cinétique ne se conserve pas, sauf si la somme des forces qui s'exercent sur le point est nulle ou si elles sont perpendiculaires au mouvement.
Ce théorème est particulièrement adapté aux systèmes dont la position est définie par un seul degré de liberté.
Forces conservatives, énergie potentielle
Énergie potentielle
De manière générale, on dit qu'un champ de force f ⃗ \vec{f} f rot → f ⃗ = 0 ⃗ \overrightarrow{\text{rot}}\,\vec{f} = \vec{0} rot f = 0
f ⃗ = − ∇ E p \vec{f} = -\nabla E_p f = − ∇ E p Si on se restreint à des forces indépendantes du temps, on obtient E p = − ∫ f ⃗ ⋅ d O M → E_p = -\displaystyle\int \vec{f} \cdot d\overrightarrow{OM} E p = − ∫ f ⋅ d O M
La plupart du temps, les forces de frottement ne sont pas conservatives, elles sont dissipatives .
Une propriété importante des forces conservatives
δ W = − d E p \delta W = -dE_p δ W = − d E p En intégrant, on a donc :
W M 1 → M 2 ( f ⃗ ) = E p ( M 1 ) − E p ( M 2 ) W_{M_1 \to M_2}(\vec{f}) = E_p(M_1) - E_p(M_2) W M 1 → M 2 ( f ) = E p ( M 1 ) − E p ( M 2 ) Énergie mécanique
Conservation de l'énergie mécanique
On a δ W = d E c \delta W = dE_c δ W = d E c δ W = − d E p \delta W = -dE_p δ W = − d E p
d E c + d E p = 0 → d ( E c + E p ) = 0 → d E m = 0 ⇒ E m = c t e dE_c + dE_p = 0 \rightarrow d(E_c + E_p) = 0 \rightarrow dE_m = 0 \Rightarrow E_m = cte d E c + d E p = 0 → d ( E c + E p ) = 0 → d E m = 0 ⇒ E m = c t e Il y a conservation de l'énergie mécanique quand :
f ⃗ \vec{f} f E p E_p E p f ⃗ = 0 ⃗ \vec{f} = \vec{0} f = 0 f ⃗ \vec{f} f