Mouvement dans un champ de force en 1/r²

Champ de force en $\dfrac{1}{r^2}$

Généralités

$$\vec{f} = \frac{K}{r^2}\vec{e_r}$$

Énergie potentielle

$$E_p = \frac{K}{r}$$

Théorème de Gauss

$$\oint\!\!\oint \vec{g} \cdot d\vec{S} = -4\pi G \sum_i M_{i\,int}$$

Le flux sortant de $\vec{g}$ à travers une surface $(S)$ est égal à la masse contenue dans $(S)$ multipliée par $-4\pi G$.

Trajectoires dans un champ de force en $\dfrac{1}{r^2}$ (cas attractif)

Recherche de trajectoire

On définit

$$p = -\frac{mc^2}{K}$$

$$e = -\frac{mc^2 A}{K}$$

$$\text{Si} \begin{cases} e > 1 : \text{hyperbole} \\ e = 1 : \text{parabole} \\ e < 1 : \text{ellipse} \end{cases}$$

Caractéristiques de la trajectoire elliptique

• $a^2 = b^2 + c^2$
• $a = \dfrac{p}{1 - e^2}$
• $e = \dfrac{c}{a}$
• $p = \dfrac{b^2}{a}$

Expression générale de l'énergie mécanique

$$E_m = \frac{mc^2}{2p^2}(e^2 - 1) = cte$$

Application au mouvement des planètes et des satellites

Lois de Kepler

Première loi. La planète décrit une orbite elliptique dont un foyer est le centre du Soleil.

Deuxième loi. Le rayon vecteur qui joint le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des temps égaux :

$$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{2}\rho^2\dot{\phi} = \frac{c}{2}$$

Troisième loi. Le carré de la période $T$ de révolution de la planète est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite elliptique.