Oscillateurs

Oscillations libres

Mouvement d'un point matériel au voisinage d'une position d'équilibre

Par définition, on appelle oscillateur harmonique à une dimension un point matériel mobile repéré par un paramètre dont le mouvement est décrit par une équation différentielle de la forme ci-dessous :

$$\frac{d^2X}{dt^2} + \omega_0^2 X = 0 \quad \text{avec} \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}$$

Description du mouvement

La solution de l'équation ci-dessus est $X(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)$, avec

$$\begin{cases} A : \text{amplitude} \\ \phi : \text{phase} \\ \omega_0 : \text{pulsation propre du mouvement} \end{cases}$$

Le mouvement de l'oscillateur harmonique à une dimension est périodique. La période vaut $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$.

Deux représentations classiques de l'oscillateur harmonique

L'oscillateur élastique. La force exercée par le ressort est, en première approximation, proportionnelle à l'allongement du ressort : $\vec{f} = -kx\,\vec{e_x}$. En résolvant l'équation différentielle, on trouve $x = x_M \cos(\omega_0 t)$.

Le pendule simple. En résolvant l'équation différentielle, on trouve $E_p = -\displaystyle\int \vec{f} \cdot d\overrightarrow{OM}$.

Aspect énergétique de l'oscillateur harmonique

L'oscillateur élastique

Énergie potentielle élastique. On définit l'énergie potentielle élastique :

$$E_p = \frac{1}{2} kx^2 + cte$$

Oscillations amorties par frottement fluide

Équation différentielle du mouvement

L'équation se met sous la forme :

$$\ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x = 0$$

En résolvant l'équation, on a $r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2 = 0$.

Régime pseudo-périodique. Si $\delta < 0$, la solution est de la forme

$$x(t) = Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t + \phi)$$

Régime critique. Si $\delta = 0$, la solution est de la forme

$$x(t) = (At + B)e^{-\omega_0 t}$$

Régime apériodique. Si $\delta > 0$, la solution est de la forme

$$x(t) = Ae^{r_+ t} + Be^{r_- t}$$

Oscillations forcées

Équation différentielle du mouvement

L'équation se met sous la forme :

$$\ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos\omega t$$

avec $x = A\cos(\omega t + \phi)$.

Détermination de l'amplitude

$$A = \frac{\dfrac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\lambda^2\omega^2}}$$

$$\tan(\phi) = \frac{2\lambda\omega}{\omega^2 - \omega_0^2}$$

Étude de la résonance

Pour que $A_{max}$ existe, il faut que $\lambda < \dfrac{\omega_0}{\sqrt{2}}$. L'amplitude $A$ passe par son maximum pour $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - 2\lambda^2}$ : c'est un phénomène de résonance.