Changement de référentiel

Définitions

Vitesse absolue $\vec{v_a}$ : vitesse du point $M$ évaluée dans le référentiel $(R)$ .

Accélération absolue $\vec{a_a}$ : accélération du point $M$ évaluée dans le référentiel absolu $(R)$ .

Vitesse relative $\vec{v_r}$ : vitesse du point $M$ évaluée dans le référentiel relatif $(R')$ .

Accélération relative $\vec{a_r}$ : accélération du point $M$ évaluée dans le référentiel relatif $(R')$ .

Notion d'entraînement : le point coïncidant est le point $P$ qui coïncide avec $M$ à l'instant $t$ et qui est fixe dans $(R')$ . On a donc :

vitesse d'entraînement $\vec{v_e}$ : vitesse du point coïncidant $P$ évaluée dans le référentiel fixe $(R)$ ;
accélération d'entraînement $\vec{a_e}$ : accélération du point coïncidant $P$ évaluée dans le référentiel fixe $(R)$ .

\vec{U} = x\,\vec{e_x} + y\,\vec{e_y} + z\,\vec{e_z} = x'\,\vec{e'_x} + y'\,\vec{e'_y} + z'\,\vec{e'_z}

\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)_{(R)} = \left(\frac{d\vec{v}}{dt}\right)_{(R')} + \vec{\omega}(R'/R) \wedge \vec{v}

\vec{v_a} = \vec{v_r} + \vec{v_e}

\vec{a_a} = \vec{a_r} + \vec{a_e} + \vec{a_c}

avec

\vec{a_e} = \left.\frac{d^2\overrightarrow{OO'}}{dt^2}\right|_R + \frac{d\vec{\omega}(R'/R)}{dt} \wedge \overrightarrow{O'P} + \vec{\omega}(R'/R) \wedge \left(\vec{\omega}(R'/R) \wedge \overrightarrow{O'P}\right)

\vec{a_c} = 2\,\vec{\omega}(R'/R) \wedge \vec{v_r}(M/R')

On considère $(R)$ fixe et galiléen ; $(R')$ est mobile par rapport à $(R)$ , ainsi $(R')$ n'est pas galiléen.

\vec{f} = m\vec{a_a}

donc

\vec{f} - m\vec{a_e} - m\vec{a_c} = m\vec{a_r}

On obtient donc

\vec{f} + \vec{f_{ie}} + \vec{f_{ic}} = m\vec{a_r}

où $\vec{f_{ie}} = -m\vec{a_e}$ et $\vec{f_{ic}} = -m\vec{a_c}$ .

Translation rectiligne : $\vec{a_c} = \vec{0}$ .

Rotation uniforme autour d'un axe fixe : on a $\vec{v_r} = \vec{0}$ et $\vec{f_{ie}} = m\omega^2\,\overrightarrow{OM}$ .

Un point matériel $M$ est immobile dans $(R')$ si le vecteur $\overrightarrow{O'M}$ est constant, donc $\vec{f} - m\vec{a_e} = \vec{0}$ .

\vec{g_0} = \frac{\vec{f_g}}{m} = \frac{GM_T}{R_T^2}\,\vec{n}