Interaction à deux corps

Collisions

\vec{p}_{\text{initial}} = \vec{p}_{\text{final}} \Leftrightarrow m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m_1\vec{v'_1} + m_2\vec{v'_2}

Conservation de l'énergie cinétique.

E_{C\,\text{initial}} = E_{C\,\text{final}}

Référentiel du centre de masse.

\overrightarrow{OG} = \frac{m_1\overrightarrow{OA_1} + m_2\overrightarrow{OA_2}}{m_1 + m_2}

\vec{v_G} = \frac{m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}}{m_1 + m_2}

Dans $R_G$ (le référentiel du centre de masse), il y a conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique.

Choc mou. Un choc est dit mou si les deux corps, séparés avant le choc, restent ensemble après le choc.

Coefficient de restitution.

e = -\frac{v'_1 - v'_2}{v_1 - v_2} \qquad \begin{cases} e = 1 \rightarrow \text{élastique} \\ e = 0 \rightarrow \text{mou} \end{cases}

Vitesses finales. On pose $x = \dfrac{m_2}{m_1}$ .

Si $e = 1$ : $\begin{cases} v'_1 = v_1\left(\dfrac{1 - x}{1 + x}\right) \\ v'_2 = \dfrac{2v_1}{1 + x} \end{cases}$
Si $e = 0$ : $v'_1 = v'_2 = \dfrac{v_1}{1 + x}$

La fonction $E_p(r)$ porte le nom d'énergie potentielle d'interaction des deux corps et ne dépend que de la distance relative entre ces deux corps.

\vec{f_2} = -\frac{dE_p}{dr}\vec{u_{12}} = -\vec{f_1}

E_m = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + E_p(r) = cte

Le barycentre $G$ du système est animé, dans le référentiel galiléen $(R)$ , d'un mouvement rectiligne uniforme (car on a un système isolé).

\vec{r_2} = -\frac{m_1}{m_2}\vec{r_1}

Dans le référentiel du centre de masse $(R_G)$ , les deux corps en interaction décrivent des trajectoires homothétiques.

On appelle le point $M$ le mobile fictif associé au système, défini par :

\vec{r} = \overline{GM} = \vec{r_2} - \vec{r_1}

L'équation du mouvement est alors :

m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{f_2}

où $m$ est appelée masse réduite du système et est définie par

m = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}