Circuits électriques en régime transitoire

Introduction générale

On considère un circuit auquel on applique des sources de tension et de courant à un instant $t = 0\ \text{s}$. Ces sources constituent l'excitation. Sans excitation, le circuit est au repos.

Il existe deux types d'excitations :

• en régime continu, si l'excitation est indépendante du temps ;
• en régime variable, si l'excitation dépend du temps ou varie au cours du temps.

La réponse d'un circuit électrique, suite à l'application d'une excitation, comprend généralement un régime transitoire et un régime permanent.

On définit $0^-$ le temps juste avant la fermeture de l'interrupteur, et $0^+$ le temps juste après la fermeture de l'interrupteur.

Par convention, les grandeurs électriques qui ne varient pas au cours du temps sont notées en majuscules (E, U, I) et celles qui varient en minuscules (e, u, i).

Le modèle de la fonction « échelon » ne décrit pas correctement la fermeture d'un interrupteur : la tension ou le courant ne peut jamais présenter de discontinuité.

Régime transitoire dans des circuits du premier ordre

Résistance

La loi d'Ohm $U = R \cdot I$ est conservée, celles des mailles et des nœuds aussi.

Condensateurs, circuit RC

Un condensateur est l'ensemble formé par deux électrodes métalliques planes séparées par un milieu isolant. On a $Q^+ = -Q^- = C \cdot U_{AB} = C \cdot E$ ; au cours du temps, on obtient $i = \dfrac{dq}{dt} = C\dfrac{du_{AB}(t)}{dt}$.

On détermine $C$ en farads avec $C = \dfrac{\epsilon_0 S}{d}$.

En résumé, les électrons sont chargés négativement ; une électrode est chargée positivement (donc en manque d'électrons), alors que l'autre électrode est chargée négativement (donc en excès d'électrons). Les charges électriques sont localisées à la surface des conducteurs.

L'orientation du courant est la même que celle du déplacement des charges positives.

Les deux bornes d'un condensateur sont séparées par un isolant (diélectrique).

Équivalence des condensateurs.

• Série : $\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$
• Dérivation : $C_{eq} = C_1 + C_2$

À l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé : $u(0) = 0$ et $q(0) = 0$. Pour analyser le circuit, on a $u(t) = \dfrac{q(t)}{C}$ et $i(t) = \dfrac{dq}{dt}$.

Mise en équation : $E = R \cdot i(t) + u(t) \Rightarrow E = R \cdot i(t) + \dfrac{q(t)}{C}$, ainsi

$$R\frac{di}{dt} + \frac{i}{C} = 0$$

On sait que $i = C\dfrac{du}{dt} \Rightarrow E = RC\dfrac{du}{dt} + u \Rightarrow \dfrac{du}{dt} + \dfrac{u}{RC} = \dfrac{E}{RC}$. Ainsi

$$u = -Ee^{-\frac{t}{RC}} + E$$

On définit $\tau = RC$ (en secondes) comme le temps de relaxation du circuit.

On a $u(t) = E\left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right) \Rightarrow u'(t) = \dfrac{E}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}$.

Équation de la tangente à l'origine : $u'(0)(t - 0) + u(0) = \dfrac{E}{RC}t \Rightarrow$ pour $t = \tau$ : $y = E = \dfrac{E}{RC}\tau$, d'où

$$\tau = RC$$

Comment évolue l'énergie au cours d'un régime transitoire de charge de condensateur ?

$$p(t) = u(t) \cdot i(t)$$

$$dW = u(t) \cdot i(t)\,dt$$

• Énergie fournie par le générateur : $\displaystyle\int -Ei(t)\,dt = \int_0^Q -E\frac{dq}{dt}\,dt = -E\int_0^Q dq = -CE^2$
• Énergie stockée par le condensateur : $\displaystyle\int u \cdot i\,dt = \int_0^Q u\frac{dq}{dt}\,dt = \int_0^Q u\,dq = \int_0^E u\,C\,du = \frac{1}{2}CE^2$
• Énergie perdue par effet Joule dans la résistance : $\dfrac{1}{2}CU^2$

Décharge du condensateur. Mise en équation :

$$u(t) = Ri(t) \qquad i(t) = -\frac{dq}{dt}$$

$$u(t) = -R\frac{dq}{dt} = -RC\frac{du}{dt} \qquad \frac{du}{dt} = -\frac{u}{RC}$$

On trouve une solution de la forme $u(t) = u_0 e^{-\frac{t}{RC}}$.

Bobines, circuit RL

Une bobine est constituée par l'enroulement d'une grande longueur de fil conducteur. Un noyau de matériau magnétique est parfois placé à l'intérieur.

Considérons une bobine d'inductance $L$ orientée en convention récepteur. Une bobine réelle présente toujours une résistance interne $r$.

En régime continu, $i = cte$ et $L\dfrac{di}{dt} = 0$.

On définit le flux du champ magnétique $\vec{B}$ à travers la surface $S$ : $\Phi = \vec{B} \cdot S\vec{n}$ et $\dfrac{d\Phi}{dt} = u_{AB}$. Dans le cas d'une bobine, $\Phi = L \cdot I$, avec $\Phi$ en webers.

$$u = L\frac{di}{dt} \qquad \text{(relation intensité-tension)}$$

Évolution temporelle. $U = R \cdot i + L\dfrac{di}{dt}$, où $R$ est la résistance totale du circuit ; ainsi on a $i(t) = \dfrac{U}{R}\left(1 - e^{-\frac{Rt}{L}}\right)$.

	$t = 0^+$	$t \to +\infty$
Condensateur	Comportement similaire à un fil	Comportement d'un fil ouvert
Bobine	Comportement d'un fil ouvert	Comportement similaire à un fil

L'énergie stockée dans l'inductance est $\dfrac{1}{2}LI^2$.

Régime transitoire dans des circuits du second ordre, le dipôle RLC

Analyse d'un circuit : $E - u_c - u_R - u_L = 0$, donc

$$u_c + LC\frac{d^2u_c}{dt^2} + RC\frac{du_c}{dt} = 0$$

On pose $LC\omega_0^2 = 1$ :

$$\frac{1}{\omega_0^2}\frac{d^2u_c}{dt^2} + RC\frac{du_c}{dt} + u_c = 0 \Rightarrow \frac{d^2u_c}{dt^2} + RC\omega_0^2\frac{du_c}{dt} + \omega_0^2 u_c = 0$$

On pose $RC\omega_0^2 = 2\lambda$, d'où la forme « canonique » :

$$\frac{d^2u_c}{dt^2} + 2\lambda\frac{du_c}{dt} + \omega_0^2 u_c = 0$$

On résout cette équation et on a :

• $\Delta > 0$ : régime apériodique ;
• $\Delta = 0$ : régime critique ;
• $\Delta < 0$ : régime pseudo-périodique, oscillations amorties.