Fiche de synthèse

Circuits électriques en régime transitoire

Introduction générale

Lorsqu'une tension et un courant sont appliqués à un circuit, celui-ci traverse un état d'excitation. Les tensions et les courants induits constituent la réponse du circuit.

Sans excitation, le circuit est au repos.

Il existe deux types d'excitations : en régime continu ou en régime variable.

La réponse d'un circuit électrique comprend deux phases : le régime transitoire, limité, puis le régime permanent.

Une tension ou une intensité ne peut jamais présenter de discontinuité. La tension en échelon n'est qu'une approximation.

Régime transitoire dans des circuits du premier ordre

Résistance. On se rappelle de l'utilisation des résistances au premier semestre.

Condensateurs et dipôle RC.

$$q(t) = C \cdot u_{AB}(t) \qquad i(t) = C\frac{du_{AB}(t)}{dt}$$

Équivalence des condensateurs.

• Série : $\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}$
• Dérivation : $C_{eq} = C_1 + C_2$
• Énergie stockée par le condensateur : $\dfrac{1}{2}CU^2$
• Énergie perdue par effet Joule dans la résistance : $\dfrac{1}{2}CU^2$

Décharge du condensateur. $u(t) = Ri(t)$ et $i(t) = -\dfrac{dq}{dt}$.

Bobines RL.

$$u = L\frac{di}{dt}$$

Aspect énergétique. L'énergie stockée par la bobine vaut $\dfrac{1}{2}LI^2$.

Conclusion : évolution temporelle.

	$t = 0^+$	$t \to +\infty$
Condensateur	Comportement similaire à un fil	Comportement d'un fil ouvert
Bobine	Comportement d'un fil ouvert	Comportement similaire à un fil

Régime transitoire dans des circuits du second ordre, le dipôle RLC

Analyse d'un circuit : $E - u_c - u_R - u_L = 0 \Rightarrow u_c + LC\dfrac{d^2u_c}{dt^2} + RC\dfrac{du_c}{dt} = 0$. On pose $LC\omega_0^2 = 1$, on résout et on a :

• $\Delta > 0$ : régime apériodique ;
• $\Delta = 0$ : régime critique ;
• $\Delta < 0$ : régime pseudo-périodique, oscillations amorties.

Amplificateur opérationnel idéal

Introduction

Un amplificateur opérationnel permet d'amplifier une différence de tension.

Réel et idéal

$$V_s = A_D(V^+ - V^-) = A_D u_D$$

Linéaire : si $-\epsilon \leq U_d \leq +\epsilon \Rightarrow U_S = A_d U_d$.

Saturé : si $U_d < -\epsilon \Rightarrow U_S = cte = -U_{alim}$, ou si $U_d > \epsilon \Rightarrow U_s = cte = +U_{alim}$.

Grandeur	AO réel	AO idéal
Résistance $R_e$	$0{,}1\ \text{M}\Omega$ à $1000\ \text{G}\Omega$	$+\infty$
Intensité	$< 1\ \text{nA}$	$i^+ = i^- = 0$
Résistance $R_s$	10 à 500 $\Omega$	0
$U_d$	.	$U^+ = U^-$
Coefficient d'amplification $A_d$	$10^5$ à $10^7$	$\infty$
Gain-bande passante	$> 100\ \text{MHz}$	.

Les deux régimes de l'AO idéal

1. L'AOI est dit en boucle ouverte si la sortie S n'a pas de liaison avec les deux entrées $U^+$ et $U^-$. Il fonctionne en saturation.
2. L'AOI est dit en boucle fermée avec réaction positive si la sortie S est en liaison avec l'entrée $U^+$. Il fonctionne en saturation.
3. L'AOI est en boucle fermée avec réaction négative si la sortie S est en liaison avec l'entrée inverseuse $U^-$. Le montage peut fonctionner en régime linéaire tant que :

$$-U_{sat} \leq U_S \leq U_{sat} \quad \text{avec} \quad U_S = A_D U_E$$

Pour un AO idéal : $i^- = i^+ = 0$ et $U^+ = U^-$.

$$\text{Coefficient d'amplification } A = \frac{U_{\text{sortie}}}{U_{\text{entrée}}}$$

Circuits électriques en régime sinusoïdal

Définitions, généralités

Force de Lorentz.

$$\vec{F} = q\vec{v} \wedge \vec{B}$$

Grandeurs périodiques $s(t)$. Une grandeur est périodique si $s(t + T) = s(t)$ ; $T$ est la période.

• La fréquence vaut $f = \dfrac{1}{T}$.
• Si $s(t)$ est de signe constant, la grandeur est monodirectionnelle.
• Si $s(t)$ change de signe, la grandeur est bidirectionnelle.
• La valeur moyenne vaut $\langle s \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T s(t)\,dt$.
• La valeur efficace vaut $s_{eff}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T s^2(t)\,dt$.

Grandeurs sinusoïdales. Soit la grandeur sinusoïdale $s(t) = S_m\cos(\omega t + \phi)$.

• Sa valeur instantanée est $s(t)$.
• Sa valeur maximale, ou valeur crête, est $S_m$.
• Sa pulsation est $\omega$, la période est $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. La fréquence est $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$.
• Sa phase (à l'origine) est $\phi$.
• La valeur moyenne d'une grandeur sinusoïdale est $\langle s \rangle = 0$.
• La valeur efficace est $S_{eff} = \dfrac{S_m}{\sqrt{2}} \Rightarrow s(t) = S_{eff}\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi)$.

Représentations pratiques des grandeurs sinusoïdales. On utilise le vecteur de Fresnel tournant $\overrightarrow{OM}$, de module constant égal à $S_m$. Ainsi $x_{s(t)} = x_M$ et $y_{s(t)} = y_M = S_m\sin(\omega t + \phi)$.

Déphasage de deux grandeurs sinusoïdales de même période.

$$\phi = 2\pi\frac{x'}{x}\ (\text{rad})$$

Représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale. La grandeur physique est la partie réelle de la grandeur complexe associée.

Conventions d'écriture adoptées pour la suite :

Désignation	Notation
Écriture temporelle (ou valeur instantanée)	$s(t) = S_m\cos(\omega t + \phi) = S\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi)$
Valeur maximale	$S_m$
Valeur efficace	$S$
Vecteur de Fresnel associé	$\overrightarrow{OM} = S$
Amplitude efficace complexe associée	$\underline{S} = Se^{j\phi}$
Notation phaseur	$S\angle\phi$
Amplitude efficace complexe conjuguée	$\underline{S}^* = Se^{-j\phi}$

Circuits en régime permanent (ou forcé) sinusoïdal : conditions de validité de l'étude.

$$e(t) = E_m\cos(\omega t + \phi)$$

Dipôles en régime permanent sinusoïdal

Impédance complexe.

$$\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = Ze^{j\phi}$$

$|\underline{Z}| = \dfrac{U}{I}$ et $\arg(\underline{Z}) = \phi$ ; $\underline{Z} = R + j \cdot \text{réactance}$.

Admittance complexe.

$$\underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}}$$

Impédances élémentaires.

Dipôle	$Z$	$U$	$\phi$
Résistance	$R$	$R \cdot I$	$0$
Bobine	$L\omega$	$L\frac{dI}{dt}$	$\frac{\pi}{2}$
Condensateur	$\frac{1}{C\omega}$	$I = C\frac{dU}{dt}$	$-\frac{\pi}{2}$

Générateurs sinusoïdaux.

$$\text{g.t} \rightarrow \text{g.c} : \begin{cases} \underline{I_0} = \dfrac{\underline{E_t}}{\underline{Z_t}} \\ \underline{Z_0} = \underline{Z_t} \end{cases} \qquad \text{g.c} \rightarrow \text{g.t} : \begin{cases} \underline{E_t} = \underline{Z_0} \cdot \underline{I_0} \\ \underline{Z_t} = \underline{Z_0} \end{cases}$$

Association dipôle actif et dipôle passif

Puissance instantanée.

$$P(t) = \frac{dW}{dt} = u(t) \cdot i(t)$$

Puissance moyenne.

$$P = U \cdot I\cos(\phi)$$

Puissance complexe.

$$\underline{P} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* = U \cdot I e^{j\phi} = U \cdot I\cos(\phi) + j\,U \cdot I\sin(\phi) = P + jQ$$

• $S = U \cdot I$ : puissance apparente ;
• $P = U \cdot I\cos(\phi)$ : puissance active ;
• $Q = U \cdot I\sin(\phi)$ : puissance réactive.