Amplificateur opérationnel idéal

L'AO en régime linéaire

Introduction

Un amplificateur opérationnel est un amplificateur différentiel : il amplifie une différence de tension. Il permettait de modéliser les opérations mathématiques. On le trouve communément sous la forme de circuit intégré.

Il possède deux bornes d'entrée : une entrée non inverseuse et une entrée inverseuse.

Notion de potentiel de référence : on peut prendre sur un nœud $V_M = 0\ \text{V}$. On a donc $U_{NM} = V_N - V_M = V_N - 0 = V_N$, ainsi $U_N = V_N$.

Alimentation

Réel et idéal

La tension de sortie d'un amplificateur différentiel est donnée par (réel) :

$$V_S = A_D(V^+ - V^-) + A_{MC}\left(\frac{V^+ + V^-}{2}\right)$$

On admettra que la tension de sortie $V_S$ vaut (idéal) :

$$V_S = A_D(V^+ - V^-) = A_D U_d$$

Régimes de fonctionnement :

Linéaire : si $-\epsilon \leq U_d \leq +\epsilon \Rightarrow U_S = A_d U_d$.

Saturé : si $U_d < -\epsilon \Rightarrow U_S = cte = -U_{alim}$, ou si $U_d > \epsilon \Rightarrow U_S = cte = +U_{alim}$.

Grandeur	AO réel	AO idéal
Résistance $R_e$	$0{,}1\ \text{M}\Omega$ à $1000\ \text{G}\Omega$	$+\infty$
Intensité	$< 1\ \text{nA}$	$i^+ = i^- = 0$
Résistance $R_s$	10 à 500 $\Omega$	0
$U_d$	.	$U^+ = U^-$
Coefficient d'amplification $A_d$	$10^5$ à $10^7$	$\infty$
Gain-bande passante	$> 100\ \text{MHz}$	.

Les deux régimes de l'AO idéal

1. L'AOI est dit en boucle ouverte si la sortie S n'a pas de liaison avec les deux entrées $U^+$ et $U^-$. Il fonctionne en saturation.
2. L'AOI est dit en boucle fermée avec réaction positive si la sortie S est en liaison avec l'entrée $U^+$. Il fonctionne en saturation.
3. L'AOI est en boucle fermée avec réaction négative si la sortie S est en liaison avec l'entrée inverseuse $U^-$. Le montage peut fonctionner en régime linéaire tant que :

$$-U_{sat} \leq U_S \leq U_{sat} \quad \text{avec} \quad U_S = A_D U_E$$

En régime linéaire

L'amplificateur non inverseur.

On cherche la relation $U_s = f(U_e)$. Méthode des nœuds : $V_S = V_S - 0 = V_S$. AO idéal, donc $i^- = i^+ = 0$ et $U^+ = U^-$.

$$\frac{V_S}{R_2} = V_P\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) = V_P\left(\frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}\right) \qquad V_e - V_Q = R \cdot i^+ = 0 \Rightarrow V_Q = V_e = V_P$$

$$V_S = V_e\left(\frac{R_2}{R_1} + 1\right) \qquad A = \frac{U_S}{U_e} = 1 + \frac{R_2}{R_1}$$

L'amplificateur inverseur.

Au nœud de la borne négative :

$$\frac{V_e - V^-}{R_1} + \frac{V_S - V^-}{R_2} + i^- = 0 \Rightarrow \frac{V_e}{R_1} + \frac{V_S}{R_2} = V^-\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$$

$$A = \frac{U_S}{U_e} = -\frac{R_2}{R_1}$$

L'amplificateur sommateur.

$$\frac{V_1 - V^-}{R} + \frac{V_2 - V^-}{R} + i^- + \frac{V_S - V^-}{R'} = 0$$

Avec $i^- = i^+ = 0$, $V^+ = V^-$ et $V^+ = 0$ :

$$\frac{V_1}{R} + \frac{V_2}{R} = -\frac{V_S}{R'} \Rightarrow V_S = -\frac{R'}{R}(V_1 + V_2)$$

soit $V_S = -\dfrac{R'}{R}(e_1 + e_2)$.