Circuits électriques en régime sinusoïdal

Définitions, généralités

Force de Lorentz

On définit la force de Lorentz par $\vec{F} = q\vec{v} \wedge \vec{B}$ (voir le cours d'électromagnétisme).

Grandeurs périodiques s(t)

Une grandeur est dite périodique si elle prend les mêmes valeurs à intervalles de temps réguliers :

$$s(t + T) = s(t)$$

où $T$ est l'intervalle de temps appelé période (en secondes).

On définit la fréquence $f = \dfrac{1}{T}$, qui indique le nombre de cycles par unité de temps ($\text{Hz}$ ou $\text{s}^{-1}$).

La grandeur physique $s(t)$ est dite monodirectionnelle si $s(t)$ est de signe constant, et bidirectionnelle si elle change de signe.

La valeur moyenne, notée $\langle s \rangle$, d'une grandeur est définie par :

$$\langle s \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T s(t)\,dt$$

La valeur efficace, notée $S_{eff}$, d'une grandeur périodique de période $T$ est définie par :

$$S_{eff}^2 = \frac{1}{T}\int_0^T s^2(t)\,dt$$

Grandeurs sinusoïdales

Soit la grandeur sinusoïdale $s(t) = S_m\cos(\omega t + \phi)$.

• Sa valeur instantanée est $s(t)$.
• Sa valeur maximale, ou valeur crête, est $S_m$.
• Sa pulsation est $\omega$, la période est $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$. La fréquence est $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$.
• Sa phase (à l'origine) est $\phi$.
• La valeur moyenne d'une grandeur sinusoïdale est $\langle s \rangle = 0$.
• La valeur efficace est $S_{eff} = \dfrac{S_m}{\sqrt{2}} \Rightarrow s(t) = S_{eff}\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi)$.

Représentations pratiques des grandeurs sinusoïdales. On définit le vecteur de Fresnel tournant par le vecteur $\overrightarrow{OM}$ de module constant égal à $S_m$, qui tourne autour de l'origine $O$ à la vitesse angulaire constante $\omega$ ($\text{rad.s}^{-1}$). Ainsi, à $t = 0$, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ fait un angle $\phi$ avec l'axe $Ox$.

À l'instant $t$ : $x_M = \|\overrightarrow{OM}\|\cos(\omega t + \phi) = S_m\cos(\omega t + \phi)$, $\Rightarrow s(t) = x_M$ et $y_M = S_m\sin(\omega t + \phi)$.

Déphasage de deux grandeurs sinusoïdales de même période.

$$s_1 = S_{1m}\cos(\omega t) = S_{1eff}\sqrt{2}\cos(\omega t) = S_1\sqrt{2}\cos(\omega t)$$

$$s_2 = S_{2m}\cos(\omega t + \phi) = S_{2eff}\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi) = S_2\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi)$$

$$\phi = 2\pi\frac{x'}{x}\ (\text{rad}) \quad \text{ou} \quad \phi = 360 \cdot \frac{x'}{x}$$

Représentation complexe d'une grandeur sinusoïdale. Le vecteur de Fresnel $\overrightarrow{OM}$ précédent, représenté dans le plan complexe, est l'image du nombre complexe :

$$\underline{s}(t) = S_m(\cos(\omega t + \phi) + j\sin(\omega t + \phi)) = S_m e^{j(\omega t + \phi)}$$

• $s(t) = \mathcal{R}(\underline{s}(t))$ ;
• $S_m$ = module de $\underline{s}(t) = \|\underline{s}(t)\|$ ;
• phase $\omega t + \phi$ = argument de $\underline{s}(t)$.

$$\underline{s}(t) = S_m(\cos(\omega t + \phi) + j\sin(\omega t + \phi)) = S_m e^{j(\omega t + \phi)} = S_m e^{j\phi}e^{j\omega t} = \sqrt{2}(S_{eff}e^{j\phi})e^{j\omega t}$$

En pratique, on utilisera plutôt les amplitudes efficaces complexes associées : $\underline{S} = S_{eff}e^{j\phi} = Se^{j\phi}$.

La grandeur physique est la partie réelle de la grandeur complexe associée.

Conventions d'écriture adoptées pour la suite :

Désignation	Notation
Écriture temporelle (ou valeur instantanée)	$s(t) = S_m\cos(\omega t + \phi) = S\sqrt{2}\cos(\omega t + \phi)$
Valeur maximale	$S_m$
Valeur efficace	$S$
Vecteur de Fresnel associé	$\overrightarrow{OM} = S$
Amplitude efficace complexe associée	$\underline{S} = Se^{j\phi}$
Notation phaseur	$S\angle\phi$
Amplitude efficace complexe conjuguée	$\underline{S}^* = Se^{-j\phi}$

Circuits en régime permanent (ou forcé) sinusoïdal

Conditions de validité de l'étude. Les phénomènes d'induction électromagnétique conduisent à la création de différences de potentiel sinusoïdales du type :

$$e(t) = E_m\cos(\omega t + \phi)$$

Additivité des différences de potentiel. Si on a $u(t) = u_1(t) + u_2(t) + u_3(t)$, par Fresnel on a $\vec{U} = \vec{U_1} + \vec{U_2} + \vec{U_3}$, soit $Ue^{j\phi} = U_1e^{j\phi_1} + U_2e^{j\phi_2} + U_3e^{j\phi_3}$.

Dipôles en régime permanent sinusoïdal

Loi d'Ohm, impédance, admittance

Le dipôle est soumis à la différence de potentiel $u(t) = U\sqrt{2}\cos(\omega t) \Rightarrow \underline{U} = Ue^{j \cdot 0} = U$.

Il est alors parcouru par un courant $i$ en retard de $\phi$ sur $u$ : $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t - \phi) \Rightarrow \underline{I} = Ie^{-j\phi}$.

L'impédance complexe.

$$\underline{Z} = \frac{\underline{U}}{\underline{I}} = \frac{U}{Ie^{-j\phi}} = \frac{U}{I}e^{j\phi} = Ze^{j\phi}$$

Module : $|\underline{Z}| = \left|\dfrac{\underline{U}}{\underline{I}}\right| = \dfrac{U}{I} = Z\ (\Omega)$ et $\arg(\underline{Z}) = \arg(\underline{U}) - \arg(\underline{I}) = \phi$.

$\underline{Z} = Ze^{j\phi}$ = résistance + $j$ · réactance.

L'admittance complexe.

$$\underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}} = Ye^{-j\phi}$$

Module : $|\underline{Y}| = \left|\dfrac{\underline{I}}{\underline{U}}\right| = Y\ (\text{S})$ et $\arg(\underline{Y}) = \arg(\underline{I}) - \arg(\underline{U}) = -\phi$.

$\underline{Y} = Ye^{-j\phi}$ = conductance + $j$ · susceptance.

Impédances élémentaires

Résistance linéaire $R$. La résistance $R$ est parcourue par un courant alternatif d'expression $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t) \Rightarrow u_R(t) = Ri(t) \Rightarrow u(t) = RI\sqrt{2}\cos(\omega t) = U_R\sqrt{2}\cos(\omega t) \Rightarrow u(t)$ et $i(t)$ sont en phase.

$$\underline{Z_R} = \frac{\underline{U_R}}{\underline{I}} = \frac{U_R}{I} \Leftrightarrow \underline{Z} = Ze^{j\phi} \Rightarrow \phi = 0 \Leftrightarrow Z = R$$

Bobine idéale ($r = 0$) $L$. La bobine $L$ est parcourue par un courant alternatif d'expression $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t)$. Par définition :

$$u_L(t) = L\frac{di(t)}{dt}$$

$\Rightarrow u(t) = -L\omega I\sqrt{2}\sin(\omega t) = U_L\sqrt{2}\cos\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)$ avec $U_L = L\omega I$ $\Rightarrow u(t)$ est en quadrature avance sur $i(t)$.

$$\underline{Z_L} = \frac{\underline{U_L}}{\underline{I}} = \frac{U_L e^{j\frac{\pi}{2}}}{Ie^{j0}} = L\omega e^{j\frac{\pi}{2}}$$

Module $|\underline{Z_L}| = L\omega$ et $\arg(\underline{Z_L}) = \phi = +\dfrac{\pi}{2}$.

Condensateur idéal $C$. Le condensateur $C$ est parcouru par un courant alternatif d'expression $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t)$ ; par définition $i(t) = C\dfrac{du_c}{dt}$.

$\Rightarrow u(t) = \dfrac{1}{C}\displaystyle\int i(t)\,dt = \dfrac{1}{C}\int I\sqrt{2}\cos(\omega t)\,dt = \dfrac{I\sqrt{2}}{C\omega}\sin(\omega t)$ $\Rightarrow u(t)$ est en quadrature retard sur $i(t)$.

$$\underline{Z_C} = \frac{1}{C\omega}e^{-j\frac{\pi}{2}} = -\frac{j}{C\omega}$$

Module $|\underline{Z_C}| = \dfrac{1}{C\omega}$ et $\arg(\underline{Z_C}) = \phi = -\dfrac{\pi}{2}$.

Association d'impédances en série.

Impédance complexe équivalente. Si $u(t) = u_1(t) + u_2(t) + u_3(t) \Rightarrow \underline{Z_e} = \underline{Z_1} + \underline{Z_2} + \underline{Z_3}$.

Diviseur de tension, utilisation des « phaseurs ».

$$\underline{U_3} = \underline{Z_3}\,\underline{I} = \underline{U}\left(\frac{\underline{Z_3}}{\underline{Z_1} + \underline{Z_2} + \underline{Z_3}}\right)$$

Circuit résonant série (R, L, C).

$$\underline{Z_e} = \underline{Z_R} + \underline{Z_L} + \underline{Z_C} = R + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)$$

De module $|\underline{Z_e}| = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}$ et d'argument $\arg(\underline{Z_e}) = \phi = \arctan\left(\dfrac{L\omega - \dfrac{1}{C\omega}}{R}\right)$.

$Z_e$ est minimum : $Z_e = R$ et $I$ est maximum. Ainsi $\underline{U}$ et $\underline{I}$ sont en phase, et $LC\omega^2 = 1$.

Il y a surtension aux bornes de $L$ et de $C$ :

$$Q = \frac{U_L}{U} = \frac{U_C}{U} \Rightarrow Q = \frac{L\omega}{R} = \frac{1}{RC\omega}$$

Association d'impédances en parallèle.

$$\underline{I} = \frac{\underline{U}}{\underline{Z_e}} \Rightarrow \underline{Y_e} = \underline{Y_1} + \underline{Y_2} + \underline{Y_3}$$

Diviseur de courant.

$$\underline{I_3} = \underline{Y_3}\,\underline{U} = \underline{I}\left(\frac{\underline{Y_3}}{\underline{Y_1} + \underline{Y_2} + \underline{Y_3}}\right)$$

Circuit résonant parallèle (RLC).

$$\underline{Y_e} = \frac{1}{R} + j\left(C\omega - \frac{1}{L\omega}\right)$$

Module $|\underline{Y_e}| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(C\omega - \dfrac{1}{L\omega}\right)^2}$ et $\arg(\underline{Y_e}) = \phi = \arctan\left(R\left(C\omega - \dfrac{1}{L\omega}\right)\right)$.

Générateurs sinusoïdaux

Générateurs.

Dualité générateur de tension et générateur de courant.

$$\text{g.t} \rightarrow \text{g.c} : \begin{cases} \underline{I_0} = \dfrac{\underline{E_t}}{\underline{Z_t}} \\ \underline{Z_0} = \underline{Z_t} \end{cases} \qquad \text{g.c} \rightarrow \text{g.t} : \begin{cases} \underline{E_t} = \underline{Z_0} \cdot \underline{I_0} \\ \underline{Z_t} = \underline{Z_0} \end{cases}$$

Association dipôle actif et dipôle passif

Puissance instantanée. On prend $u(t) = U\sqrt{2}\cos(\omega t)$ et $i(t) = I\sqrt{2}\cos(\omega t - \phi)$.

$$P(t) = \frac{dW}{dt} = u(t) \cdot i(t)$$

Finalement $P(t) = U \cdot I\cos(\phi) + U \cdot I\cos(2\omega t - \phi)$, avec $U \cdot I\cos(\phi)$ la puissance active et $U \cdot I\cos(2\omega t - \phi)$ la puissance fluctuante.

Puissance moyenne.

$$P = U \cdot I\cos(\phi)$$

$\cos(\phi)$ est le facteur de puissance : s'il est positif, le dipôle est passif, sinon le dipôle est actif. La puissance active est $P$ (en watts) et la puissance apparente est $U \cdot I$.

Puissance complexe.

$$\underline{P} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* = U \cdot I e^{j\phi} = U \cdot I\cos(\phi) + j\,U \cdot I\sin(\phi) = P + jQ$$

• $S = U \cdot I$ : puissance apparente ;
• $P = U \cdot I\cos(\phi)$ : puissance active ;
• $Q = U \cdot I\sin(\phi)$ : puissance réactive.

Analyse de circuits en régime sinusoïdal

Toutes les méthodes d'analyse vues dans le cas des circuits en courant continu sont transposables avec les notations complexes.

Méthode des mailles

On exprime les différentes tensions en fonction des impédances complexes et on applique la loi des mailles classique.

Méthode des nœuds

Idem.

Thévenin

On se rappelle que $E_{TH} = V_{AB}$ (à déterminer avec n'importe quelle méthode). On trouve l'impédance équivalente.

Norton

On calcule $\underline{I_N}$ en mettant un fil entre A et B. On trouve l'impédance équivalente.