Spécialité mathématiques

Le cours d'approfondissement en mathématiques ("spé maths") du semestre 1 est placé sous la responsabilité d'Eric Charpentier. Il commence par des compléments sur les équations différentielles linéaires (équations de Bernoulli et de Riccati, ordre 2 et variation des constantes), puis sur les suites récurrentes (arithmético-géométriques et homographiques). La partie la plus longue porte sur les fonctions numériques de variable réelle : ordre et limites, continuité, dérivabilité et développements limités. Le cours se termine par la divisibilité dans $\mathbb{Z}$, de la construction des entiers relatifs aux théorèmes de Bézout et de Gauss et aux équations diophantiennes.

Ces notes ont été rédigées rapidement et leur relecture a été superficielle : des coquilles peuvent subsister. Elles suivent plus ou moins le cours, sans en être une copie conforme, mais traitent exactement du même programme ; les chapitres, pratiquement indépendants, peuvent être lus dans n'importe quel ordre. Elles mêlent le cours (équations différentielles, suites) et le support de M. Artigue (fonctions, divisibilité dans $\mathbb{Z}$).

Notes de cours

Cours7 pages

• Compléments sur les équations différentielles linéairesÉquations de Bernoulli et de Riccati, équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants, méthode de variation des constantes et formules de Cramer, avec exemples résolus.
• Compléments sur les suites numériquesSuites récurrentes du type u(n+1) = f(u(n)) : stabilité, monotonie, points fixes ; suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et homographiques, avec exercices.
• Fonctions numériques : ordre et limitesFonctions numériques de variable réelle : sup et inf de fonctions, fonctions lipschitziennes et contractantes, sens de variation, bornes de l'ensemble image, limites, opérations, équivalents, domination, négligeabilité et propriétés des limites liées à l'ordre.
• ContinuitéContinuité en un point et sur un intervalle, continuité à gauche et à droite, prolongement par continuité, continuité et suites, fonctions lipschitziennes, théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection, opérations sur les fonctions continues.
• DérivabilitéDérivabilité en un point et sur un intervalle, tangente, différentiabilité, extrema locaux, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, prolongement dérivable, opérations, dérivées successives, formule de Leibniz, classes Ck et règle de L'Hôpital.
• Développements limitésDéfinition, conditions nécessaires, troncature, unicité, fonctions paires et impaires, combinaisons linéaires et composées, formule de Taylor-Young, primitivation et dérivation, DL usuels, équivalents et calculs de limites.
• Divisibilité dans ZConstruction de Z, opérations et relation d'ordre, division euclidienne, nombres premiers et décomposition en facteurs premiers, PGCD et algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, résolution d'une équation diophantienne.

Ressources

Notes manuscrites1 document

• Équations différentielles

TD1 document

• Feuilles de TD

Page de l'enseignant1 document

• Fiche d'Eric Charpentier