Dérivabilité

Toutes les fonctions considérées ici sont des fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

La dérivabilité en un point

Fonction $f$ dérivable en $x_0$ élément de $D_f$. Fonction $f$ définie au moins sur un intervalle $U$ contenant $x_0$, et vérifiant, pour tout réel $h$ tel que $x_0 + h \in U$, l'existence dans $\mathbb{R}$ de la limite $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = a_{x_0} = f'(x_0)$ (limite notée $a_{x_0}$ et appelée nombre dérivé de $f$ en $x_0$).

Exemple. $f : x \to x^2$ en un quelconque $x_0$ réel. $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \dfrac{(x_0 + h)^2 - x_0^2}{h} = \dfrac{2x_0h + h^2}{h} = 2x_0 + h$ a pour limite $2x_0$ quand $h \to 0$. Donc $f$ est dérivable en tout $x_0$ réel, de nombre dérivé $a_{x_0} = 2x_0$.

Fonction $f$ dérivable à gauche en $x_0$ élément de $D_f$. Fonction $f$ définie au moins sur un intervalle $U = ]x_0 - \alpha, x_0]$ et vérifiant, pour tout réel $h$ tel que $x_0 - \alpha < x_0 + h \leq x_0$, l'existence dans $\mathbb{R}$ de la limite

$$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Fonction $f$ dérivable à droite en $x_0$ élément de $D_f$. Fonction $f$ définie au moins sur un intervalle $U = [x_0, x_0 + \alpha[$ et vérifiant, pour tout réel $h$ tel que $x_0 \leq x_0 + h < x_0 + \alpha$, l'existence dans $\mathbb{R}$ de la limite

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Équivalence fondamentale. Pour toute fonction $f$ définie au moins sur un intervalle $U = ]x_0 - \alpha, x_0 + \alpha[$, on a l'équivalence :

$$f \text{ est dérivable en } x_0 \text{ de nombre dérivé } a_{x_0} \Leftrightarrow \begin{cases} f \text{ est dérivable à gauche en } x_0 \\ f \text{ est dérivable à droite en } x_0 \\ f'_d(x_0) = f'_g(x_0) = f'(x_0) \end{cases}$$

La non-dérivabilité en $x_0$ pour $f$ définie au moins sur un intervalle $U = ]x_0 - \alpha, x_0 + \alpha[$ résulte donc :

• soit de l'inexistence de l'une des limites unilatérales du taux de variation en $x_0$ ;
• soit du fait que l'une des limites unilatérales du taux de variation en $x_0$ est un infini ;
• soit du fait que, bien qu'existants, les nombres dérivés de $f$ à gauche et à droite sont distincts.

Équation de la tangente à $C_f$ au point $M_0(x_0, f(x_0))$. Lorsque $f$ est dérivable en $x_0$ de nombre dérivé $a_{x_0}$, l'équation de la tangente à sa courbe représentative $C_f$ au point $M_0(x_0, f(x_0))$ est

$$y = a_{x_0}.x - a_{x_0}.x_0 + f(x_0)$$

Équations des demi-tangentes. Lorsque la dérivabilité du côté considéré est avérée, la demi-tangente correspondante a pour équation $y = a_{x_0g}.x - a_{x_0g}.x_0 + f(x_0)$ ou $y = a_{x_0d}.x - a_{x_0d}x_0 + f(x_0)$ selon le cas.

Lien avec la continuité. Si $f$ est dérivable en $x_0$ (respectivement à gauche ou à droite), cela implique que $f$ est continue en $x_0$ (respectivement à gauche ou à droite).

Démonstration. Supposant $f$ dérivable en $x_0$, notant $\epsilon(h) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - a_{x_0}$, $\lim\limits_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$, et comme $f(x_0 + h) = f(x_0) + h.a_{x_0} + h.\epsilon(h)$, $\lim\limits_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0)$, preuve de la continuité de $f$ en $x_0$. $\square$

La différentiabilité en $x_0$. Une fonction $f$ définie sur un intervalle $U = ]x_0 - \alpha, x_0 + \alpha[$ ($\alpha > 0$) est dite différentiable en $x_0$ lorsqu'il existe une fonction linéaire $df_{x_0} : h \to a.h$ et une fonction $\epsilon$ définie sur $U$ telle que $\lim\limits_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$, vérifiant : $\forall h \in ]-\alpha, \alpha[$, la différence $\Delta f_{x_0}(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) = a.h + h.\epsilon(h) = df_{x_0}(h) + h.\epsilon(h)$.

Autrement dit, la fonction-différence $\Delta f_{x_0}$ est approchée par la fonction linéaire plus simple $df_{x_0}$. $df_{x_0}$ est appelée différentielle de $f$ en $x_0$.

Exemple. $f : x \to x^2$ en un quelconque $x_0$ réel. $\Delta f_{x_0}(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) = (x_0 + h)^2 - x_0^2 = 2x_0h + h^2 = a.h + h.\epsilon(h)$ où $a = 2x_0$ et $\epsilon(h) = h$. Donc en $x_0$ réel, $df_{x_0} : h \to 2x_0h$, où l'on peut remarquer que $2x_0$ est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.

Équivalence "dérivabilité" et "différentiabilité" en un $x_0$. Pour toute fonction $f$ définie au moins sur un intervalle $U = ]x_0 - \alpha, x_0 + \alpha[$ ($\alpha > 0$), on a l'équivalence : $f$ est dérivable en $x_0$ de nombre dérivé $a_{x_0}$ $\Leftrightarrow$ $f$ est différentiable en $x_0$ de différentielle $df_{x_0} : h \to a_{x_0}.h$.

La dérivabilité sur un intervalle

Fonction dérivable sur un intervalle $U$. Fonction $f$ définie sur $U$ qui est :

• dérivable en tout réel $x$ de $U$ autre qu'une borne de $U$ ;
• dérivable du côté de l'intérieur de $U$ en toute borne de $U$ qui appartient à $U$.

Exemples et contre-exemples. $x \to x^2$ est dérivable sur tout intervalle de $\mathbb{R}$, $x \to \sqrt{x}$ est dérivable sur tout intervalle de $\mathbb{R}_+^*$. $x \to \sqrt{x}$ n'est pas dérivable sur $[0, +\infty[$ : $\lim\limits_{h \to 0^+} \dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = +\infty$, demi-tangente verticale.

Fonction dérivée de $f$. Si $f$ est dérivable sur un intervalle $U$, sa dérivée est la fonction $f'$ définie sur $U$ par $\forall x \in U, f'(x) = a_x =$ nombre dérivé de $f$ en $x$. L'équation de la tangente à $C_f$ au point $M(x_0, f(x_0))$ s'écrit alors $y = f'(x_0).x - f'(x_0).x_0 + f(x_0)$.

L'expression de la différentiabilité en $x_0$ s'écrit alors $\Delta f_{x_0}(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) = f'(x_0).h + h.\epsilon(h) = df_{x_0}(h) + h.\epsilon(h)$ où $df_{x_0} : h \to f'(x_0).h$.

On appelle développement limité d'ordre 1 en $x_0$ l'égalité $f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0).h + h.\epsilon(h)$, dans laquelle on peut remarquer que $h.\epsilon(h) = o(h)$ puisque $\lim\limits_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$.

Nombre dérivé à gauche ou à droite, nouvelle notation. On note $f'_g(x)$ et $f'_d(x)$ les nombres dérivés à gauche et à droite.

Recherche des extrema locaux de $f$ sur un intervalle $]a, b[$. Si $f$ est dérivable sur un intervalle $]a, b[$, alors les éventuels extrema locaux de $f$ sur $]a, b[$ sont atteints en des réels de $]a, b[$ solutions de l'équation $f'(x) = 0$.

Exemple. Recherche des extrema locaux de $f : x^4 - 2x^2$ sur $]-1/2, 2[$. $f'(x) = 4x^3 - 4x$ ; $f'(x) = 0$ a pour solutions dans $\mathbb{R}$ les réels $-1$, $0$ et $1$. Seuls parmi eux, $0$ et $1$ sont éléments de $]-1/2, 2[$ : c'est donc en ces deux seuls réels qu'il est utile d'examiner le problème, et les variations de $f$ autour de ces réels nous donnent la réponse.

Théorème III.3 (de Rolle). $f$ est une fonction définie au moins sur un intervalle $[a, b]$ de $\mathbb{R}$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$, telle que $f(a) = f(b)$, alors $\exists c \in ]a, b[, f'(c) = 0$.

Théorème III.4 (des accroissements finis). $f$ est définie au moins sur $[a, b]$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors $\exists c \in ]a, b[, f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ (on peut remarquer que c'est le théorème de Rolle étendu).

Égalité et inégalité des accroissements finis. $f$ est définie au moins sur un intervalle $[a, b]$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ :

• $\exists c \in ]a, b[, f(b) - f(a) = f'(c).(b - a)$, égalité des accroissements finis (c'est le TAF) ;
• si de plus $\exists M \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in [a, b], |f'(x)| \leq M$, alors $|f(b) - f(a)| \leq M.|b - a|$, inégalité des accroissements finis, et $\forall (x, x') \in ]a, b[^2, |f(x') - f(x)| \leq M.|x' - x|$ : $f$ est $M$-lipschitzienne sur $]a, b[$.

Le sens de variation déduit du signe de la dérivée. $f$ est définie au moins sur un intervalle $[a, b]$. Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors :

• si $\forall c \in ]a, b[, f'(c) \geq 0$, $f$ est croissante sur $[a, b]$ ;
• si $\forall c \in ]a, b[, f'(c) \leq 0$, $f$ est décroissante sur $[a, b]$ ;
• si $\forall c \in ]a, b[, f'(c) = 0$, $f$ est constante sur $[a, b]$.

Le théorème de dérivabilité aux bornes (dit parfois du prolongement dérivable). $\alpha$ désigne un réel positif.

• Soit $f$ une fonction dérivable sur $]x_0 - \alpha, x_0[$, continue sur $]x_0 - \alpha, x_0]$ et telle que $\lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) = l$ ; alors $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ et $f'_g(x_0) = l$.
• Soit $f$ une fonction dérivable sur $]x_0, x_0 + \alpha[$, continue sur $[x_0, x_0 + \alpha[$ et telle que $\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) = l$ ; alors $f$ est dérivable à droite en $x_0$ et $f'_d(x_0) = l$.
• $E$ est une partie de $\mathbb{R}$ constituée d'une réunion d'intervalles. $f$ est une application de $E$ dans $\mathbb{R}$ dérivable (donc continue) sur tout intervalle inclus dans $E$, $a$ est un réel n'appartenant pas à $E$ et borne d'un des intervalles constituant $E$. Si $f$ est prolongeable par continuité à $E \cup \{a\}$, dérivable sur le (ou les) intervalles ouverts inclus dans $E$ dont $a$ est borne, et telle que $\lim\limits_{x \to a} f'(x) = l$, $l$ étant un réel, alors le prolongement continu $\tilde{f}$ de $f$ à $E \cup \{a\}$ est dérivable en $a$ et $\tilde{f}'(a) = l$.

Fonctions obtenues par opérations sur des fonctions dérivables

Théorèmes généraux relatifs aux opérations sur les fonctions dérivables.

Propriété 1. $f$ et $g$ sont deux fonctions simultanément dérivables sur un même intervalle $U$.

• $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, $\lambda f + \mu g$ est dérivable sur $U$ et $(\lambda f + \mu g)' = \lambda f' + \mu g'$.
• $f \times g$ est dérivable sur $U$, $(f \times g)' = f' \times g + f \times g'$, et $\forall n \in \mathbb{N}$, $f^n = f \times f \times f \times \dots \times f$ est dérivable sur $U$ de dérivée $(f^n)' = n.f^{n-1}.f'$.
• Si $0 \notin g(U)$, alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont dérivables sur $U$, $\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}$, $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$, et $\forall n \in \mathbb{Z}$, $g^n = g \times g \times \dots \times g$ est dérivable sur $U$ de dérivée $(g^n)' = n.g^{n-1}.g'$.

Propriété 2.

• Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $U$, si $g$ est une fonction dérivable sur un intervalle $V$ contenant $f(U)$, alors $g \circ f$ est dérivable sur $U$ et $(g \circ f)' = g' \circ f \times f'$.
• Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $U$ tel que $f(U) \subset U$, alors $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $f^n = f \circ f \circ f \circ \dots \circ f$ est dérivable sur $U$ et $(f^n)' = \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} f' \circ f^k$.
• Pour toute bijection $f : U \to f(U)$ ($U$ intervalle de $\mathbb{R}$), dérivable sur $U$, telle que $\forall x \in U, f'(x) \neq 0$, $f^{-1}$ est dérivable sur $f(U)$ et $\forall x \in f(U)$, $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

Dérivations successives

Dérivée $n$-ième d'une fonction sur un intervalle $U$. $f$ est une fonction supposée définie sur un intervalle $U$ de $\mathbb{R}$. $f^{(0)} = f$ par convention. Si $f$ est dérivable sur $U$, sa dérivée $f'$ peut se noter $f^{(1)}$… Si, pour un entier naturel $n \geq 1$, $f$ est dérivable sur $U$ jusqu'à l'ordre $n - 1$, et si $f^{(n-1)}$ est dérivable sur $U$, on note $f^{(n)} = (f^{(n-1)})'$ la dérivée d'ordre $n$ de $f$ sur $U$.

Exemple. Pour $f : x \to x^{12}$, ses dérivées successives sur $U = \mathbb{R}$ sont, au-delà de $f^{(0)} = f$, définies par les expressions $f^{(1)}(x) = 12.x^{11}$ … $f^{(n)}(x) = \dfrac{12!}{(12 - n)!}x^{12-n}$ si $n \in [0, 12]$ et $f^{(n)}(x) = 0$ si $n \geq 13$.

Dérivées d'ordre $n$ de fonctions obtenues par opérations sur des fonctions dérivables. $f$ et $g$ sont des fonctions supposées $m$ fois dérivables sur un intervalle $U$.

• $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, $\lambda f + \mu g$ est $m$ fois dérivable sur $U$ et $\forall n \in [0, m]$, $(\lambda f + \mu g)^{(n)} = \lambda f^{(n)} + \mu g^{(n)}$.
• $f \times g$ est $m$ fois dérivable sur $U$ et $\forall n \in [0, m]$, $(f \times g)^{(n)} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} \times g^{(n-k)}$ : c'est la formule de Leibniz.

Exemples.

• $\phi : x \to 2.\sin(3x) - 3.\cos(2x)$ ; on cherche $\phi^{(9)}(x)$.

  $\forall x \in \mathbb{R}, \phi(x) = 2.f(x) - 3g(x)$ où $f(x) = \sin(3x)$ et $g(x) = \cos(2x)$. Chaque dérivation de $f$ provoque l'apparition d'un facteur 3. Toutes les 4 dérivations de $\sin$, on réobtient $\sin$. On a 9 dérivations successives, donc à la huitième on réobtient $\sin$ et à la neuvième on obtient $\cos$.

  Chaque dérivation de $g$ provoque l'apparition d'un facteur 2. Toutes les 4 dérivations de $\cos$, on réobtient $\cos$. On a 9 dérivations successives, donc à la huitième on réobtient $\cos$ et à la neuvième $-\sin$.

  Ainsi $\phi^{(9)}(x) = 2.f^{(9)}(x) - 3g^{(9)}(x) = 2.3^9.\cos(3x) + 3.2^9\sin(2x)$.

• $\phi : x \to x^3e^{ax}$ où $a \neq 0$. Calculons $\phi^{(3)}(x)$.

  $\forall x \in \mathbb{R}, \phi(x) = f(x) \times g(x)$ où $f(x) = x^3$, de dérivées successives $3x^2, 6x, 6$ puis 0 à partir de l'ordre 4, et où $g(x) = e^{ax}$, de dérivées successives $a.e^{ax}, a^2.e^{ax}, \dots, a^ne^{ax}$. Appliquons la formule de Leibniz pour $n = 3$ :

  $$\begin{aligned} \phi^{(3)}(x) &= (f \times g)^{(3)}(x) = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} f^{(k)} \times g^{(3-k)} \\ &= \binom{3}{0}f^{(0)}(x) \times g^{(3)}(x) + \binom{3}{1}f^{(1)}(x) \times g^{(2)}(x) + \binom{3}{2}f^{(2)}(x) \times g^{(1)}(x) + \binom{3}{3}f^{(3)}(x) \times g^{(0)}(x) \\ &= 1.f(x) \times g^{(3)}(x) + 3.f'(x) \times g''(x) + 3.f''(x) \times g'(x) + 1.f^{(3)}(x) \times g(x) \\ &= 1.x^3 \times a^3.e^{ax} + 3.3x^2 \times a^2.e^{ax} + 3.6x \times a.e^{ax} + 1.6 \times e^{ax} \\ &= (a^3.x^3 + 9a^2x^2 + 18ax + 6) \times e^{ax} \end{aligned}$$

Classe $C^k(U)$ où $U$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble des fonctions définies sur $U$, à valeurs réelles, qui sont $k$ fois dérivables sur $U$ et telles que leur dérivée d'ordre $k$, $f^{(k)}$, soit continue sur $U$.

Parce que dérivables sur $U$, toutes les dérivées de $f$ d'ordre inférieur à $k$ sont continues sur $U$.

Classe $C^\infty(U)$ où $U$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble des fonctions définies sur $U$, à valeurs réelles, qui sont dérivables sur $U$ à tout ordre.

Règle de L'Hôpital

Cette règle figure dans la version résumée du chapitre :

$$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'} = \lim \frac{f''}{g''}$$