Fonctions numériques : ordre et limites

Notions liées à l'ordre "$\leq$"

$\sup(f, g)$ ; $\inf(f, g)$

Supérieur. $f$ et $g$ étant deux fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de même ensemble de définition $D$, $\sup(f, g) : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \max(f(x), g(x)) \end{cases}$

Inférieur. $f$ et $g$ deux fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de même ensemble de définition $D$, $\inf(f, g) : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto \min(f(x), g(x)) \end{cases}$

Exemple. $\sup(\sin, \cos)$ et $\inf(\sin, \cos)$ représentées sur $[-2\pi, 2\pi]$.

Valeur absolue. $f$ étant une fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ d'ensemble de définition $D_f$, $|f| : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto |f|(x) = |f(x)| = \max(f(x), -f(x)) \end{cases}$, ainsi $|f| = \sup(f, -f)$.

Fonctions lipschitziennes

Fonction $f$ lipschitzienne de rapport $k$ sur un intervalle $U$ de $\mathbb{R}$. $k$ étant un élément de $\mathbb{R}_+^*$, c'est toute fonction $f$ définie sur $U$, à valeurs réelles, telle que $\forall (x, x') \in U^2, |f(x) - f(x')| \leq k.|x - x'|$.

Contraction sur $U$ (ou application contractante sur $U$). C'est une fonction lipschitzienne sur $U$, de rapport $k \in ]0, 1[$. Elle est ainsi nommée parce que les images $f(x)$ et $f(x')$ sont toujours plus proches que $x$ et $x'$.

Quatre formules de trigonométrie utiles. $\forall (p, q) \in \mathbb{R}^2$ :

$$\begin{aligned} \cos(p) + \cos(q) &= 2\cos\left(\frac{p + q}{2}\right).\cos\left(\frac{p - q}{2}\right) & \sin(p) + \sin(q) &= 2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right).\cos\left(\frac{p - q}{2}\right) \\ \cos(p) - \cos(q) &= -2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right).\sin\left(\frac{p - q}{2}\right) & \sin(p) - \sin(q) &= 2\cos\left(\frac{p + q}{2}\right).\sin\left(\frac{p - q}{2}\right) \end{aligned}$$

Rappelons également que $\forall x \in \mathbb{R}, |\sin(x)| \leq |x|$.

Exemple. Sinus est 1-lipschitzienne sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ mais elle est contractante sur $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$.

• Sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ : $\forall (x, x') \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]^2$, on a

  $$|\sin(x) - \sin(x')| = \left|2\sin\left(\frac{x - x'}{2}\right).\cos\left(\frac{x + x'}{2}\right)\right| = 2\left|\sin\left(\frac{x - x'}{2}\right)\right|.\left|\cos\left(\frac{x + x'}{2}\right)\right| \leq 2.\left|\frac{x - x'}{2}\right|.1 = 1.|x - x'|$$

• Sur $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ : $\forall (x, x') \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]^2$, on a

  $$|\sin(x) - \sin(x')| = \text{idem} = 2.\left|\sin\left(\frac{x - x'}{2}\right)\right|.\left|\cos\left(\frac{x + x'}{2}\right)\right| \leq 2.\left|\frac{x - x'}{2}\right|\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.|x - x'| \quad \text{où } \frac{\sqrt{2}}{2} \in ]0, 1[$$

Le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $U$ inclus dans $D_f$

Fonction $f$ croissante sur $U$. Fonction $f$ définie sur $U$, telle que $\forall (x, x') \in U^2, x < x' \Rightarrow f(x) \leq f(x')$.

Fonction $f$ strictement croissante sur $U$. $f$ définie sur $U$, telle que $\forall (x, x') \in U^2, x < x' \Rightarrow f(x) < f(x')$.

Fonction $f$ décroissante sur $U$. Fonction $f$ définie sur $U$, telle que $\forall (x, x') \in U^2, x < x' \Rightarrow f(x) \geq f(x')$.

Fonction $f$ strictement décroissante sur $U$. $f$ définie sur $U$, telle que $\forall (x, x') \in U^2, x < x' \Rightarrow f(x) > f(x')$.

Les bornes de l'ensemble image

Dans ce qui suit, $f$ est une fonction $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ d'ensemble de définition $D_f$ ; $U$ est une partie non vide de $D_f$.

• $f(U) = \{y \in \mathbb{R} / \exists x \in U, y = f(x)\} = \{f(x) / x \in U\}$.
• $\sup(f) = \sup(f(x)) = \sup(f(U))$, borne supérieure de l'ensemble $f(U)$.
• $\max(f) = \max(f(x)) = \max(f(U))$, plus grand élément de l'ensemble $f(U)$.
• $\min(f) = \min(f(x)) = \min(f(U))$, plus petit élément de l'ensemble $f(U)$.
• $\inf(f) = \inf(f(x)) = \inf(f(U))$, borne inférieure de l'ensemble $f(U)$.

Exemples. Pour $f : x \to \frac{1}{x}$ :

$U =$	$]0, 1]$	$[1, 2]$	$]2, +\infty[$
$\sup(f)$	.	$1$	$\frac{1}{2}$
$\max(f)$	.	$1$	.
$\min(f)$	$1$	$\frac{1}{2}$	.
$\inf(f)$	$1$	$\frac{1}{2}$	$0$

Maximum local de $f$. $f$ présente en $a$ un maximum local $M$ signifie que :

• $f$ est définie au moins sur un intervalle ouvert $U = ]a - \eta, a + \eta[$ ($\eta > 0$) ;
• $\max(f)$ existe et c'est $M = f(a)$ (c'est-à-dire $\forall x \in ]a - \eta, a + \eta[, f(x) \leq f(a) = M$).

Minimum local de $f$. $f$ présente en $a$ un minimum local $m$ signifie que :

• $f$ est définie au moins sur un intervalle ouvert $U = ]a - \eta, a + \eta[$ ($\eta > 0$) ;
• $\min(f)$ existe et c'est $m = f(a)$ (c'est-à-dire $\forall x \in ]a - \eta, a + \eta[, f(x) \geq f(a) = m$).

Extrema locaux de $f$. Ce sont les maxima et les minima locaux de $f$.

Maximum absolu de $f$. C'est, s'il existe, $\max(f)$.

Minimum absolu de $f$. C'est, s'il existe, $\min(f)$.

Exercice. Étudier l'existence d'extrema locaux ou absolus pour $f : \begin{cases} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto |1 - x^2| \end{cases}$.

Limites

Limite d'une fonction $f$ en un réel $a$ ou en un infini

$a$ est un réel de $D_f$ ou une borne de $D_f$ pouvant ne pas appartenir à $D_f$.

$l = \lim\limits_a f = \lim\limits_{x \to a} f(x)$ signifie, pour l'élément $l$ de $\mathbb{R}$, qu'il est limite de $f$ en $a$, c'est-à-dire que $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, d(f(x), l) < \epsilon$ dès que $x$ est assez proche de $a$, disons dans un intervalle $]a - \eta, a + \eta[$. Plus correctement, ceci s'exprime par

$$\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists \eta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, |x - a| < \eta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$$

Critère de Cauchy. Soit une suite de réels $(u_n)$ telle que

$$\forall \epsilon > 0, \exists N, \forall n \geq N, |u_{n+q} - u_n| < \epsilon$$

Alors $(u_n)$ converge (et réciproquement, si elle converge, elle vérifie cette propriété).

Remarques.

• Il n'est pas indispensable que $f$ soit définie en $a$ pour qu'elle y admette une limite. Pour $f : x \mapsto \dfrac{x^2}{x}$, $D_f = \mathbb{R}^*$, $a = 0$ en est une borne et $0 \notin D_f$, mais facilement $\lim\limits_0 f = 0$.
• Si $f$ est définie en $a$ et admet une limite en $a$, nécessairement $\lim\limits_a f = f(a)$. Ceci parce que $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*$, quel que soit le choix de $\eta$, pour $x = a$, $|x - a| < \eta$ est vrai, donc $|f(x) - l| < \epsilon$ aussi. Donc $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, |f(a) - l| < \epsilon$, c'est-à-dire $f(a) = l$.
• Il se peut que $f$ soit définie en $a$ sans admettre de limite en $a$. C'est le cas pour $f$ définie par $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ si $x > 0$ et $f(0) = 0$. Même si pour $l = 1$, $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*$, pour $x > 0$, $|f(x) - l| = |1 - 1| = 0 < \epsilon$, lorsque $x = 0$, $|f(x) - l| = |f(0) - 1| = |0 - 1| = 1$ ne peut être rendu $< \epsilon$ si $\epsilon < 1$.
• Si $f$ admet en $a$ une limite $l$, cette limite (en $a$) est unique. Même type de raisonnement que pour la limite d'une suite.
• Toute fonction $f$ définie au moins sur un intervalle ouvert $U$ contenant $a$ et continue en $a$ vérifie $\lim\limits_a f = f(a)$.

$l = \lim\limits_{a^-} f = \lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ signifie, pour l'élément $l$ de $\mathbb{R}$, qu'il est limite à gauche de $f$ en $a$. Cela signifie que $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, d(f(x), l) < \epsilon$ dès que $x$ est assez proche de $a$ par valeurs inférieures, c'est-à-dire dans un intervalle $]a - \eta, a[$ dont $a$ est exclu. On exprime correctement cette notion par

$$\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists \eta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, 0 < a - x < \eta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$$

$l = \lim\limits_{a^+} f = \lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ signifie, pour l'élément $l$ de $\mathbb{R}$, qu'il est limite à droite de $f$ en $a$. Cela signifie que $\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, d(f(x), l) < \epsilon$ dès que $x$ est assez proche de $a$ par valeurs supérieures, c'est-à-dire dans un intervalle $]a, a + \eta[$ dont $a$ est exclu. On exprime correctement cette notion par

$$\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists \eta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, 0 < x - a < \eta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$$

Remarques.

• Il n'est pas indispensable que $f$ soit définie en $a$ pour qu'elle y admette une limite à gauche ou une limite à droite. Pour $x \mapsto \dfrac{|x|}{x}$, $D_f = \mathbb{R}^*$, $a = 0$ en est une borne et $0 \notin D_f$ ; mais facilement $\lim\limits_{0^-} f = -1$ puisque pour $x < 0$, $f(x) = \dfrac{-x}{x} = -1$, et $\lim\limits_{0^+} f = +1$ puisque pour $x > 0$, $f(x) = \dfrac{x}{x} = 1$.

• Si $f$ est définie en $a$ et admet en $a$ une limite à gauche et une limite à droite, il se peut que ces limites soient différentes de $f(a)$. Pour $f : \dfrac{|x|}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 0$, $D_f = \mathbb{R}$, $\lim\limits_{0^-} f = -1$, $\lim\limits_{0^+} f = +1$ et $f(0) = 0$.

• Si $f$ est définie au moins sur un intervalle ouvert $]a - \alpha, a + \alpha[$, $l$ étant un réel, on a l'équivalence :

  $$\left[\lim_a f = l\right] \Leftrightarrow \begin{cases} \lim\limits_{a^-} f = l \\ \lim\limits_{a^+} f = l \\ f(a) = l \end{cases}$$

• Si $f$ n'est, au voisinage de $a$, définie que sur une réunion $]a - \alpha, a[ \cup ]a, a + \alpha[$ et pas en $a$, $l$ étant un réel, on a l'équivalence :

  $$\left[\lim_a f = l\right] \Leftrightarrow \begin{cases} \lim\limits_{a^-} f = l \\ \lim\limits_{a^+} f = l \end{cases}$$

Limite $l$ de $f$ en un infini.

• $f$ étant une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme $]\alpha, +\infty[$, $l$ étant un réel, $\lim\limits_{+\infty} f = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = l$ signifie que

  $$\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists A \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, x > A \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$$

• $f$ étant une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme $]-\infty, \alpha[$, $l$ étant un réel, $\lim\limits_{-\infty} f = \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = l$ signifie que

  $$\forall \epsilon \in \mathbb{R}_+^*, \exists A \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, x < -A \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$$

Exemples. $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$, $\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x}{x - 1} = 1$.

Limites et opérations sur les fonctions

8 propriétés à connaître. $f$ et $g$ étant deux fonctions définies au moins sur un intervalle ouvert $U$ contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne, $l$, $l'$ et $\lambda$ étant des éléments de $\mathbb{R}$ :

• $\lim\limits_a f = 0 \Leftrightarrow \lim\limits_a |f| = 0$ ;
• $\lim\limits_a f = l \Rightarrow \lim\limits_a |f| = |l|$ ;
• $\lim\limits_a f = l$ et $\lim\limits_a g = l' \Rightarrow \lim\limits_a f + g = l + l'$ ;
• $\lim\limits_a f = l \Leftrightarrow \lim\limits_a \lambda f = \lambda l$ si $\lambda \neq 0$ ;
• $\lim\limits_a f = 0$ et $g$ est bornée sur $U \Rightarrow \lim\limits_a f \times g = 0$ ;
• $\lim\limits_a f = l$ et $\lim\limits_a g = l' \Rightarrow \lim\limits_a f \times g = l \times l'$ ;
• $\forall x \in U, g(x) \neq 0$ et $\lim\limits_a g = l'$ et $l' \neq 0 \Rightarrow \lim\limits_a \dfrac{1}{g} = \dfrac{1}{l'}$ ;
• $\lim\limits_a f = l$ et $\forall x \in U, g(x) \neq 0$ et $\lim\limits_a g = l'$ et $l' \neq 0 \Rightarrow \lim\limits_a \dfrac{f}{g} = \dfrac{l}{l'}$.

Remarque. Ces propriétés s'étendent au cas où $a$ est un infini.

Le cas de la composée de deux applications. $a$ et $l$ étant des réels ou des infinis, si $f$, définie au moins sur $U$, intervalle contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne, admet en $a$ une limite $l$, si $g$, définie au moins sur $V$, intervalle contenant $l$ ou ayant $l$ pour borne et tel que $f(U) \subset V$, admet en $l$ une limite $L$, alors $\lim\limits_a g \circ f = \lim\limits_{x \to a} g(f(x)) = L$.

Comparaison de deux fonctions au voisinage d'un réel $a$ ou d'un infini

Les fonctions $f$ ou $g$ dont il est question ci-dessous sont des fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ supposées définies au moins sur un même intervalle ouvert $U$ contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne ; $a$ est un réel ou un infini.

Fonctions $f$ et $g$ équivalentes au voisinage de $a$. Fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles il existe une fonction $\beta$ définie sur $U$, telle que $\forall x \in U, f(x) = g(x) \times \beta(x)$ et $\lim\limits_{x \to a} \beta(x) = 1$.

Notation usuelle. $f \overset{a}{\sim} g$. On se permet également d'écrire $f(x) \overset{a}{\sim} g(x)$.

Exemples. $\ln(1 + x) \overset{0}{\sim} x$ car $\ln(1 + x) = x \times \beta(x)$ où $\beta(x) = \dfrac{\ln(1 + x)}{x}$ a pour limite 1 quand $x \to 0$.

Remarque. $\sim$ est une relation d'équivalence (R-S-T) dans l'ensemble des applications de $U$ dans $\mathbb{R}$.

Équivalences usuelles.

• Lorsque $a_p \neq 0$, notant $P(x) = a_pX^p + a_{p-1}X^{p-1} + \dots + a_1x + a_0$, $P(x) \overset{+\infty}{\sim} a_pX^p$, et si la valuation de $P$ est $v$, alors $P(x) \overset{0}{\sim} a_vX^v$.
• Lorsque $a_p \neq 0$ et $b_q \neq 0$, notant $R(x) = \dfrac{a_pX^p + a_{p-1}X^{p-1} + \dots + a_1x + a_0}{b_qX^q + b_{q-1}X^{q-1} + \dots + b_1x + b_0}$, $R(x) \overset{+\infty}{\sim} \dfrac{a_pX^p}{b_qX^q}$, et si les valuations respectives des numérateur et dénominateur sont $v$ et $w$, $R(x) \overset{0}{\sim} \dfrac{a_vX^v}{b_wX^w}$.
• Lorsque $\lim\limits_{x \to a} u(x) = 0$, $\sin(u(x))$, $\tan(u(x))$, $\ln(1 + u(x))$, $e^{u(x)} - 1$ sont équivalents à $u(x)$.

Équivalence et existence de limite. Pour toute fonction $f$ définie sur $U$ et tout élément $l$ de $\mathbb{R}$ :

• si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = l$ et si $l \neq 0$, alors $f(x) \overset{a}{\sim} l$ (fonction constante de valeur $l$) ;
• si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = l$ et si $l = 0$, il est faux que $f(x) \overset{a}{\sim} l$, sauf si $f$ est localement nulle auprès de $a$ ;
• si $f$ est telle que $f(x) \overset{a}{\sim} l$, alors $\lim\limits_{x \to a} f = l$.

Intérêt de cette notion. Deux fonctions équivalentes au voisinage de $a$ ont même comportement asymptotique en $a$, et si l'une a une limite $l$ en $a$, l'autre aussi et elle a la même limite $l$.

Fonction $f$ dominée par une fonction $g$ au voisinage de $a$. Fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles il existe une fonction $\gamma$ définie sur $U$, telle que $\forall x \in U, f(x) = g(x) \times \gamma(x)$ et $\gamma$ soit bornée sur $U$.

Notation usuelle. $f \overset{a}{=} O(g)$. On se permet également d'écrire $f(x) \overset{a}{=} O(g(x))$.

Exemple. $x.\sin(x) \overset{0}{=} O(x)$ puisque $x.\sin(x) = x \times \gamma(x)$ où $\gamma(x) = \sin(x)$ vérifie $|\sin(x)| \leq 1$ sur $]-2, 2[$.

Remarque. La relation de domination est transitive.

Intérêt de cette notion. Si une fonction $f$ est dominée au voisinage de $a$ par une fonction $g$ qui a une limite 0 en $a$, alors $f$ admet également 0 pour limite en $a$.

Fonction $f$ négligeable devant une fonction $g$ au voisinage de $a$. Fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles il existe une fonction $\epsilon$ définie sur $U$, telle que $\forall x \in U, f(x) = g(x) \times \epsilon(x)$ et $\lim\limits_{x \to a} \epsilon(x) = 0$.

Notation usuelle. $f \overset{a}{=} o(g)$. On se permet également d'écrire $f(x) \overset{a}{=} o(g(x))$.

Exemple. $e^{-x} \overset{+\infty}{=} o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)$ puisque $e^{-x} = \dfrac{1}{x^2} \times \epsilon(x)$ où $\epsilon(x) = x^2 \times e^{-x}$ a pour limite 0 en $+\infty$.

Remarque. Malgré le mot négligeable, $f(x) = o(g(x))$ ne sous-entend pas que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$. Par exemple $x^2 \overset{+\infty}{=} o(x^3)$ puisque $x^2 = x^3 \times x^{-1}$ où $\lim\limits_{x \to +\infty} x^{-1} = 0$. Pourtant $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.

Négligeabilités usuelles.

• Si $(p, q) \in \mathbb{N}^2$ avec $p < q$, alors $x^p \overset{+\infty}{=} o(x^q)$ et $\dfrac{1}{x^q} \overset{+\infty}{=} o\left(\dfrac{1}{x^p}\right)$, mais $x^q \overset{0}{=} o(x^p)$ et $\dfrac{1}{x^p} \overset{0}{=} o\left(\dfrac{1}{x^q}\right)$.
• $\forall \alpha \in \mathbb{R}_+^*, \forall a \in ]1, +\infty[$, $\ln(x) \overset{+\infty}{=} o(x^\alpha)$ et $x^\alpha \overset{+\infty}{=} o(a^x)$.

Remarque. La relation de négligeabilité est transitive.

Intérêt de cette notion. Si une fonction $f$ est négligeable au voisinage de $a$ devant une fonction $g$ bornée sur $U$, alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = 0$.

Quelques propriétés pratiques. $f$, $g$ et $h$ étant trois fonctions définies sur $U$ :

• si $f \overset{a}{\sim} f'$ et $g \overset{a}{\sim} g'$, alors $f \times g \overset{a}{\sim} f' \times g'$, et si de plus $\forall x \in U, g(x) \times g'(x) \neq 0$, alors $\dfrac{1}{g} \overset{a}{\sim} \dfrac{1}{g'}$ et $\dfrac{f}{g} \overset{a}{\sim} \dfrac{f'}{g'}$ ;
• si $f \overset{a}{\sim} f'$ et $g \overset{a}{=} o(f)$, alors $f \pm g \overset{a}{\sim} f'$ ;
• si $f \overset{a}{=} o(h)$ et $g \overset{a}{=} o(h)$, alors $\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$, $\lambda f + \mu g \overset{a}{=} o(h)$.

Propriétés des limites liées à l'ordre $\leq$

Limite $+\infty$ de $f$ en un réel $a$. $f$ étant une fonction définie au moins sur un intervalle $U$ contenant $a$ ou admettant $a$ pour borne, $\lim\limits_a f = \lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ signifie que

$$\forall A \in \mathbb{R}_+^*, \exists \eta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, x \in ]a - \eta, a + \eta[ \Rightarrow f(x) > A$$

Limite $-\infty$ de $f$ en un réel $a$. $f$ étant une fonction définie au moins sur un intervalle $U$ contenant $a$ ou admettant $a$ pour borne, $\lim\limits_a f = \lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$ signifie que

$$\forall A \in \mathbb{R}_+^*, \exists \eta \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, x \in ]a - \eta, a + \eta[ \Rightarrow f(x) < -A$$

Limite $+\infty$ de $f$ en $+\infty$. $f$ étant une fonction définie au moins sur un intervalle de la forme $]\alpha, +\infty[$, $\lim\limits_{+\infty} f = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ signifie que

$$\forall A \in \mathbb{R}_+^*, \exists B \in \mathbb{R}_+^*, \forall x \in D_f, x > B \Rightarrow f(x) > A$$

Tableaux panoramiques relatifs aux limites de sommes, produits et inverse. $a$ est un réel ou un infini, $l$ et $m$ sont deux réels. $f$ et $g$ sont deux fonctions à valeurs réelles définies au moins sur un intervalle $U$ contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne. Les limites envisagées sont supposées exister en $a$.

Somme $f + g$ :

$\lim g$ ↓, $\lim f$ →	$-\infty$	$l$	$+\infty$
$+\infty$	Indet	$+\infty$	$+\infty$
$m$	$-\infty$	$l + m$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	Indet

Produit $f \times g$ :

$\lim g$ ↓, $\lim f$ →	$-\infty$	$0$	$l \neq 0$	$+\infty$
$+\infty$	$-\infty$	Indet	$s(l)\infty$	$+\infty$
$m \neq 0$	$s(-m)\infty$	$0$	$l \times m$	$s(m)\infty$
$0$	Indet	$0$	$0$	Indet
$-\infty$	$+\infty$	Indet	$s(-l)\infty$	$-\infty$

Produit $\lambda f$ :

$\lim f$	$-\infty$	$l$	$+\infty$
$\lim \lambda f$	$s(-\lambda)\infty$	$\lambda l$	$s(\lambda)\infty$

Inverse $1/g$ :

$\lim g$	$-\infty$	$0^-$	$0$	$0^+$	$m \neq 0$	$+\infty$
$\lim 1/g$	$0^-$	$-\infty$	.	$+\infty$	$1/m$	$0$

Théorèmes de comparaison. $a$ est un réel ou un infini, $l$ est un réel. $f, g, h$ sont trois fonctions à valeurs réelles définies au moins sur un intervalle $U$ contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne.

• S'il existe un réel $\alpha$ tel que $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \leq g(x)$, alors $\lim\limits_a f = +\infty \Rightarrow \lim\limits_a g = +\infty$ et $\lim\limits_a g = -\infty \Rightarrow \lim\limits_a f = -\infty$.
• S'il existe un réel $\alpha$ tel que $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \leq g(x) \leq h(x)$, alors $\lim\limits_a f = l$ et $\lim\limits_a h = l \Rightarrow \lim\limits_a g = l$.

Passage aux limites dans les relations de comparaison. $a$ est un réel ou un infini ; $f$ et $g$ sont deux fonctions à valeurs réelles définies au moins sur un intervalle $U$ contenant $a$ ou ayant $a$ pour borne, et admettant chacune une limite en $a$.

• Il existe un réel $\alpha$ tel que :
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \geq 0 \Rightarrow \lim\limits_a f \geq 0$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) > 0 \Rightarrow \lim\limits_a f \geq 0$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \leq 0 \Rightarrow \lim\limits_a f \leq 0$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) < 0 \Rightarrow \lim\limits_a f \leq 0$.
• Il existe un réel $\alpha$ tel que :
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \geq g(x) \Rightarrow \lim\limits_a f \geq \lim\limits_a g$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) > g(x) \Rightarrow \lim\limits_a f \geq \lim\limits_a g$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) \leq g(x) \Rightarrow \lim\limits_a f \leq \lim\limits_a g$ ;
  • $\forall x \in ]a - \alpha, a + \alpha[ \cap U, f(x) < g(x) \Rightarrow \lim\limits_a f \leq \lim\limits_a g$.

Existence de limites pour des fonctions monotones. $f$ est une fonction à valeurs réelles, définie et monotone sur un intervalle $]a, b[$ ($a$ et $b$ réels ou infinis).

• Si $f$ est croissante et majorée sur $]a, b[$, alors si $b \in \mathbb{R}$, $f$ admet une limite à gauche en $b$ ; si $b$ est $+\infty$, $f$ admet une limite en $+\infty$.
• Si $f$ est croissante et minorée sur $]a, b[$, alors si $a \in \mathbb{R}$, $f$ admet une limite à droite en $a$ ; si $a$ est $-\infty$, $f$ admet une limite en $-\infty$.
• Si $f$ est décroissante et minorée sur $]a, b[$, alors si $b \in \mathbb{R}$, $f$ admet une limite à gauche en $b$ ; si $b$ est $+\infty$, $f$ admet une limite en $+\infty$.
• Si $f$ est décroissante et majorée sur $]a, b[$, alors si $a$ est $-\infty$, $f$ admet une limite en $-\infty$.