Modèles géométriques

Modèle géométrique direct

Connaître le modèle géométrique direct (MGD) d'un robot correspond à pouvoir exprimer :

• à partir des coordonnées d'un point ou d'un vecteur exprimées dans le repère effecteur du robot
• les coordonnées du même point / vecteur exprimées dans le repère de travail du robot
• en fonction des coordonnées articulaires

Le MGD se ramène donc à la matrice de transformation homogène ${}^0T_f$. Lors du calcul du MGD d'un robot, nous pouvons faire face à des calculs de grande complexité ou très redondants. Il est donc nécessaire de choisir un langage commun : c'est la convention de Denavit-Hartenberg :

• Règles imposées de choix des axes et origines
• Unicité des transformations homogènes
• Un et un seul repère lié à chaque articulation

Sur l'exemple du robot ABB ci-dessous, le formalisme de Denavit-Hartenberg est utilisé pour exprimer les transformations homogènes : ${}^iT_{i+1} = Rot_{z, \theta_{i+1}} . Trans_{(a_{i+1}, 0, d_{i+1})} . Rot_{x, \alpha_{i+1}}$

Ce formalisme se résume par le tableau de Denavit-Hartenberg :

$i,i+1$	$rot_{z_i}$	$trans_{x_{i+1}}$	$trans_{z_i}$	$rot_{x_{i+1}}$
0,1	$\theta_1$		$d_1$	$\alpha_1 = -90°$
1,2	$\theta_2$	$a_2$
2,3	$\theta_3$			$\alpha_3 = -90°$
3,4	$\theta_4$		$d_4$	$\alpha_4 = 90°$
4,5	$\theta_5$			$\alpha_5 = -90°$
5,6	$\theta_6$		$d_6$

Modèle géométrique inverse

Le MGD permet de déterminer l'orientation et la position de l'effecteur du robot, en fonction des variables articulaires $\theta_i, d_i$. Le MGI permet de déterminer les variables articulaires $\theta_i, d_i$ en fonction de l'orientation et la position de l'effecteur du robot. Le MGI n'est pas l'inversion de la matrice ${}^0T_f$ !

Pour obtenir la posture désirée du robot, il faut résoudre l'égalité entre :

• ${}^0T_f(q_i)$, exprimée en fonction des coordonnées articulaires ($q_i = \theta_i$ ou $d_i$)
• La posture désirée $U_0 = [{}^0T_f]_{\text{désirée}}$

Ce système d'équations non linéaires est trop complexe pour être résolu directement.

Méthode de Paul

Nous faisons le constat que l'équation $U_0 = {}^0T_f(q_1, \ldots, q_n)$ est composée d'une expression souvent simple à gauche et souvent très complexe à droite. Le but de la méthode de Paul est de simplifier cette expression à droite. Plus particulièrement, il s'agit de prémultiplier successivement les deux membres par les inverses ${}^1T_0, {}^2T_1, \ldots$ pour exprimer l'égalité dans un autre repère que 0, afin que chaque $q_i$ n'apparaisse qu'isolément dans certaines équations. Ces équations prennent des formes caractéristiques (8 types faciles à résoudre, présentés en annexe).