Changements de repère

Repère affine $[O_i, R_i = \{x_i, y_i, z_i\}]$

Un repère affine est composé de :

1. un système d'axes $R_i = \{x_i, y_i, z_i\}$ ;
2. muni d'une origine $O_i$.

Un vecteur $\vec{O_i P}$ se note alors $\vec{O_i P} = x_i . p_{x_i} + y_i . p_{y_i} + z_i . p_{z_i}$. Ce sont les coordonnées de P dans le repère i.

Changement de repère

On connaît ${}^k \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}$ et on cherche ${}^i\vec{v}$. Nous avons donc :

$$\begin{align*} {}^i \vec{v} &= {}^i \vec{x_k} v_1 + {}^i \vec{y_k} v_2 + {}^i \vec{z_k} v_3 \\ \Leftrightarrow {}^i \vec{v} &= \underbrace{\begin{pmatrix} {}^i \vec{x_k} & {}^i \vec{y_k} & {}^i \vec{z_k} \end{pmatrix}}_{{}^i R_k} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\end{align*}$$

Soit un point $P$ défini dans le repère $k$ (coordonnées ${}^k P$) ; on cherche ${}^i P$. Comme l'on connaît ${}^k P$, nous avons $\vec{O_k P} = \vec{x_k} P_1 + \vec{y_k} P_2 + \vec{z_k} P_3$. Or, par la relation de Chasles, nous avons :

$$\begin{align*} {}^i \vec{O_i P} &= {}^i \vec{O_i O_k} + {}^i\vec{O_k P} \\ &= {}^i O_k + {}^i R_k . {}^k \vec{O_k P} \\ {}^i P &= {}^i O_k + {}^i R_k . {}^k P \end{align*}$$

En résumé, pour les changements de repère : pour un vecteur $\vec{v}$, ${}^i \vec{v} = {}^i R_k {}^k \vec{v}$ ; pour un point $P$, ${}^i P = {}^i R_k {}^k P + {}^i O_k$. La matrice de transformation homogène du repère $i$ vers le repère $k$ est donc :

$${}^i T_k = \begin{pmatrix} {}^i R_k & {}^i O_k \\ 0 \; 0 \; 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Voir l'exemple d'application dans les exercices.

Matrice de transformation homogène, propriétés

La matrice de transformation homogène du repère $i$ vers le repère $k$, noté ${}^i T_k$ est définie par : ${}^i T_k = \begin{pmatrix} {}^i R_k & {}^i O_k \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^i\vec{x_k} & {}^i\vec{y_k} & {}^i\vec{z_k} & {}^i\vec{O_i O_k} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$.

Pour tout point $P$ : $\begin{pmatrix} {}^i P \\ 1 \end{pmatrix} = {}^iT_k \begin{pmatrix} {}^k P \\ 1 \end{pmatrix}$.

Pour tout vecteur $v$ (quatrième coordonnée homogène nulle, la translation ne s'applique pas) : $\begin{pmatrix} {}^i v \\ 0 \end{pmatrix} = {}^iT_k \begin{pmatrix} {}^k v \\ 0 \end{pmatrix}$.

Changements de repère successifs : $\forall m, {}^i T_k = {}^i T_m {}^m T_k$

Changement de repère inverse : ${}^k T_i = ({}^i T_k)^{-1} = \begin{pmatrix} {}^i R_k^T & -{}^i R_k^T \, {}^i O_k \\ 0 \; 0 \; 0 & 1 \end{pmatrix}$, et $\forall i, {}^i T_i = Id_4$

Matrice de rotation

Selon l'axe $z$ : $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & - \sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Selon l'axe $y$ : $\begin{pmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

Selon l'axe $x$ : $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & - \sin{\theta} \\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

Produit scalaire

Soit un repère $i$ dont les axes $x_i$, $y_i$ et $z_i$ sont orthogonaux entre eux et de longueur unité. Alors pour tous vecteurs $v$, $w$, le produit scalaire euclidien $v . w$ peut être calculé depuis les coordonnées ${}^i v, {}^i w$ par

$$\vec{v} . \vec{w} = \begin{pmatrix} {}^i v \end{pmatrix}^T . {}^i w = v_{x_i} . w_{x_i} + v_{y_i} . w_{y_i} + v_{z_i} . w_{z_i}$$