Vecteurs et torseurs

On identifie une base orthonormée directe $b = (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ et un repère $R = (O, \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$.

$$A \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{OA} \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \\ z_A \end{pmatrix}$$

Vecteur

Produit scalaire. $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B = \|\overrightarrow{OA}\| \, \|\overrightarrow{OB}\| \cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$

Produit vectoriel.

$$\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} = \|\overrightarrow{OA}\| \, \|\overrightarrow{OB}\| \sin(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})\, \vec n = \begin{vmatrix} x_A & \cdot & x_B \\ y_A & \wedge & y_B \\ z_A & \cdot & z_B \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} y_A z_B - y_B z_A \\ z_A x_B - z_B x_A \\ x_A y_B - x_B y_A \end{pmatrix}$$

Produit mixte. $(\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC}) = (\overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC}) \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} \cdot (\overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA})$.

Moment d'un vecteur en un point. $\vec{\mathcal M}_O \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}) \wedge \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{BC}$.

$\vec{\mathcal M}_O \overrightarrow{BC} \cdot \vec u = (\overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{BC}) \cdot \vec u$.

Torseur

Somme. $\vec S = \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{B_2C_2} + \dots + \overrightarrow{B_nC_n} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{B_iC_i}$.

Moment en $O$. $\vec{\mathcal M}_O = \overrightarrow{OB_1} \wedge \overrightarrow{B_1C} + \dots + \overrightarrow{OB_n} \wedge \overrightarrow{B_nC} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{OA_i} \wedge \overrightarrow{B_iC_i}$

Torseur.

$$\begin{cases} \vec S \\ \vec{\mathcal M}_O \end{cases} = \{T\}_O$$

De $O$ en $O'$ :

$$\begin{cases} \vec S \to \vec S' \ \text{inchangé - invariant} \\ \vec{\mathcal M}_O \to \vec{\mathcal M}'_O = \overrightarrow{O'A} \wedge \overrightarrow{B_1C} + \dots + \overrightarrow{O'A_n} \wedge \overrightarrow{B_nC_n} \end{cases}$$

$$\vec{\mathcal M}_{O'} = (\overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{B_1C_1}) + \overrightarrow{OA_1} \wedge \overrightarrow{B_1C_1} + \dots + (\overrightarrow{O'O} \wedge \overrightarrow{B_nC_n}) + \overrightarrow{OA_n} \wedge \overrightarrow{B_nC_n} \Rightarrow \vec{\mathcal M}_{O'} = \vec{\mathcal M}_O + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec S$$

$$\{T\}_O = \begin{cases} \vec S \\ \vec{\mathcal M}_O \end{cases} \to \{T\}_{O'} = \begin{cases} \vec S \\ \vec{\mathcal M}'_O = \vec{\mathcal M}_O + \overrightarrow{OO'} \wedge \vec S \end{cases}$$

Torseur nul. $\vec S$ et $\vec{\mathcal M}_O = \vec 0 \Leftrightarrow \vec{\mathcal M}_{O'} = \vec{\mathcal M}_O + \overrightarrow{OS} \wedge \vec S$.

Torseur glisseur.

$$\begin{cases} \vec S \neq 0 \\ \vec{\mathcal M}_O = \vec 0 \end{cases} \to \begin{cases} \vec S \\ \vec{\mathcal M}_{O'} = \vec 0 + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec S \end{cases}$$

Torseur couple.

$$\begin{cases} \vec S = \vec 0 \\ \vec{\mathcal M}_{O'} = \vec{\mathcal M}_O + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec S \end{cases} \qquad \{T\}_O = \begin{cases} \vec S \\ \vec{\mathcal M}_O \end{cases}$$

alors $\vec{\mathcal M}_{O'} \cdot \overrightarrow{O'O} = \vec{\mathcal M}_O \cdot \overrightarrow{O'O} + (\overrightarrow{O'O} \wedge \vec S) \cdot \overrightarrow{O'O}$ si $\overrightarrow{O'O} = O'O \cdot \vec u$.

$$\text{Équiprojectivité : } \vec{\mathcal M}_{O'} \cdot O'O \cdot \vec u = \vec{\mathcal M}_O \cdot O'O \cdot \vec u$$

Propriétés de deux torseurs. Soit

$$\{T_1\}_O = \begin{cases} \vec S_1 \\ \vec{\mathcal M}_{O,1} \end{cases} \quad \text{et} \quad \{T_2\}_O = \begin{cases} \vec S_2 \\ \vec{\mathcal M}_{O,2} \end{cases}$$

• Somme.

  $$\{T_1\}_O + \{T_2\}_O = \begin{cases} \vec S_1 + \vec S_2 \\ \vec{\mathcal M}_{O,1} + \vec{\mathcal M}_{O,2} \end{cases}$$

• Produit par un scalaire.

  $$\lambda \{T_1\}_O = \begin{cases} \lambda \vec S_1 \\ \lambda \vec{\mathcal M}_{O,1} \end{cases}$$

• Produit de torseurs (comoment).

  $$\{T_1\}_O \times \{T_2\}_O = \begin{cases} \vec S_1 \\ \vec{\mathcal M}_{O,1} \end{cases} \times \begin{cases} \vec S_2 \\ \vec{\mathcal M}_{O,2} \end{cases} = \vec S_1 \cdot \vec{\mathcal M}_{O,2} + \vec S_2 \cdot \vec{\mathcal M}_{O,1}$$

Exemple.

• en $D$ :

  $$\{T_1\}_D = \begin{cases} -F \vec e_3 \\ \vec{\mathcal M}_D = \overrightarrow{DD} \wedge (-F \vec e_3) = \vec 0 \end{cases}$$

• en $G$ :

  $$\{T_2\}_G = \begin{cases} F \vec e_3 \\ \vec{\mathcal M}_G = \overrightarrow{GG} \wedge F \vec e_3 = \vec 0 \end{cases}$$

$$\begin{aligned} \{T_1\}_O + \{T_2\}_O &= \begin{cases} -F \vec e_3 \\ \vec{\mathcal M}_O = \vec{\mathcal M}_D + \overrightarrow{OD} \wedge -F \vec e_3 + a \vec e_1 \wedge -F \vec e_3 \end{cases} + \begin{cases} F \vec e_3 \\ \vec{\mathcal M}_O = \vec{\mathcal M}_G + \overrightarrow{OG} \wedge F \vec e_3 - a \vec e_1 \wedge F \vec e_3 \end{cases} \\ &= \begin{cases} \vec 0 \\ -2a \vec e_1 \wedge F \vec e_3 = 2aF \vec e_2 \end{cases} \end{aligned}$$