Suites et séries de fonctions

Suites de fonctions

Notations. Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{F}(I, \mathbb{K})$ l'espace vectoriel des fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$.

Définition. On appelle suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ toute application de $\mathbb{N}$ dans $\mathcal{F}(I, \mathbb{K})$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est donc une fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$.

Définition. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ et soit $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K})$. On dit que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers $f$ si pour tout $x \in I$ la suite de scalaires $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(x)$.

Remarque. En utilisant des quantificateurs, la définition précédente s'écrit

$$\forall x \in I, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Exemple. La suite $f_n(x) = \sqrt{x + \dfrac{1}{n}}$ converge simplement vers la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $I = [0, 1]$.

Définition. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ et soit $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K})$. On dit que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ si

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in I, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Exemple. Sur $I = [0, 2\pi]$, $f_n(x) = \cos\Big(x + \dfrac{1}{n}\Big)$ ; montrons que $f_n$ converge uniformément vers $f$ avec $f(x) = \cos(x)$. $\cos$ est continue, donc $\cos(x + \frac{1}{n}) \to \cos(x)$. On cherche à majorer $\cos(x + \frac{1}{n}) - \cos(x) = \int_0^1 \frac{d}{dt}\Big(\cos(x + \frac{t}{n})\Big)\,dt = \frac{1}{n} \int_0^1 -\sin(x + \frac{t}{n})\,dt$. On a donc

$$\Big|\cos\Big(x + \frac{1}{n}\Big) - \cos(x)\Big| \leq \frac{1}{n} \int_0^1 \Big|\sin\Big(x + \frac{t}{n}\Big)\Big|\,dt \leq \frac{1}{n}$$

Soit $\epsilon > 0$. Prenons $N \geq \dfrac{1}{\epsilon} + 1$, alors $\forall x \in I, \forall n \geq N$

$$\Big|\cos\Big(x + \frac{1}{n}\Big) - \cos(x)\Big| < \epsilon$$

Exercice. Montrer que $f_n(x) = \sqrt{x + \dfrac{1}{n}}$ converge uniformément vers $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0, 1]$.

Théorème III.1. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• la suite $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie le critère de Cauchy uniforme ;
• il existe $f \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K})$ tel que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.

Démonstration. $\square$

Proposition. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions convergeant uniformément vers une limite $f$. Alors la suite converge simplement vers $f$.

Démonstration. Immédiat. $\square$

Remarque. La réciproque est fausse.

Exemple. Soit $\begin{cases} f_n(x) = x^n \\ x \in [0, 1[ \end{cases}$, alors $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f = 0$.

$$\Big[x^n < \epsilon, \ n \ln(x) < \ln(\epsilon), \ n > \frac{\ln(\epsilon)}{\ln(x)} = N_{\epsilon,x} \text{ ; on a } N_{\epsilon,x} \to +\infty\Big]$$

On n'a pas convergence uniforme ; montrons que $\exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N, \exists x \in [0, 1[, |f_n(x)| \geq \epsilon$. $\epsilon = \dfrac{1}{2e}$, $N$ quelconque, $n \geq N$ et $x = 1 - \dfrac{1}{n}$, ainsi $f_n(x) = (1 - \dfrac{1}{n})^n \to e^{-1}$.

Remarque. $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si et seulement si $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \displaystyle\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$, c'est-à-dire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in I} |(f_n - f)(x)| = 0$.

Définition. Soit $(f_n)$ une suite de $\mathcal{F}(I, \mathbb{K})$. On dit que $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme si

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p, q \geq N, \forall x \in I, |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon$$

c'est-à-dire

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p, q \geq N, \sup_{x \in I} |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon$$

Théorème III.2. Soit $(f_n)$ une suite de $\mathcal{F}(I, \mathbb{K})$. Alors $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ si et seulement si $(f_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme.

Démonstration. Supposons que $f_n$ converge uniformément vers $f$. Alors

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall x \in X, \forall n \geq N, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \qquad (1)$$

Soit $\epsilon > 0$ et soit $N$ donné par (1). Soient $p, q \geq N$ et $x \in I$. Alors $|f_p(x) - f_q(x)| \leq |f_p(x) - f(x)| + |f(x) - f_q(x)| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$ par (1).

Supposons que

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p, q \geq N, \forall x \in X, |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon \qquad (2)$$

En particulier, pour tout $x \in X$, on a

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall p, q \geq N, |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon$$

Donc la suite $(f_n(x))_{n \in \mathbb{N}}$ est de Cauchy dans $\mathbb{K}$. Comme $\mathbb{K}$ est complet, elle admet une limite $f(x)$. Ainsi $f_n$ converge simplement vers $f$ quand $n$ tend vers l'infini.

Montrons que la convergence est uniforme, c'est-à-dire

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, \forall x \in X, |f_n(x) - f(x)| < \epsilon$$

Soit $\epsilon > 0$ et soit $N$ comme dans (2). Soit $n \geq N$ et soit $x \in X$. Alors pour tout $m \geq N$, on a d'après (2) $|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon$ ; on fait tendre $m$ vers l'infini, il vient $|f_n(x) - f(x)| \leq \epsilon$. $\square$

Notation. On notera $\mathcal{B}(I, \mathbb{K})$ l'espace vectoriel des applications bornées sur $I$.

Proposition. Pour tout $f \in \mathcal{B}(I, \mathbb{K})$ la quantité

$$||f||_{\mathcal{B}(I, \mathbb{K})} := \sup_{x \in I} |f(x)|$$

est bien définie. De plus, l'application

$$f \mapsto ||f||_{\mathcal{B}(I, \mathbb{K})}$$

définit une norme sur $\mathcal{B}(I, \mathbb{K})$.

Théorème III.3. (Théorème de la double limite) Soit $(f_n) \in \mathcal{F}(I, \mathbb{K})^{\mathbb{N}}$ une suite de fonctions et soit $a \in \overline{I}$. On suppose que

1. la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$ ;
2. pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ admet une limite finie $l_n$ lorsque $x$ tend vers $a$.

Alors la suite $(l_n)$ converge vers une limite finie $l$ et $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l$.

Démonstration. On commence par montrer que la suite $(l_n)$ converge. Pour cela, il suffit de montrer qu'elle est de Cauchy. On se donne $\epsilon > 0$ arbitraire. Comme la suite $(f_n)$ est uniformément convergente, elle vérifie le critère de Cauchy uniforme. Par conséquent, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que

$$\forall p, q \geq N, \forall x \in I, |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon \qquad (1)$$

Soit $N$ comme dans (1) et soient $p, q \geq N$. On a $\forall x \in I, |f_p(x) - f_q(x)| < \epsilon$ ; on fait la limite lorsque $x \to a$, il vient $|l_p - l_q| < \epsilon$. Ceci montre que $(l_n)$ est de Cauchy. Donc elle admet une limite $l \in \mathbb{K}$. Il reste à montrer que $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = l$.

Soit $\epsilon > 0$. On cherche $\delta > 0$ tel que $|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - l| < \epsilon$. Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que

$$\forall x \in X, |f_N(x) - f(x)| < \epsilon \qquad (2)$$

On a $l_n \to l$ quand $n \to \infty$. Donc il existe

$$N_1 \geq N \text{ tel que } |l_{N_1} - l| < \epsilon \qquad (3)$$

$\displaystyle\lim_{x \to a} f_{N_1}(x) = l_{N_1}$, donc il existe $\delta_1 > 0$ tel que

$$\forall x \in B(a, \delta_1), |f_{N_1}(x) - l_{N_1}| < \epsilon \qquad (4)$$

Soit $x$ tel que $|x - a| < \delta_1$, alors

$$|f(x) - l| \leq \underbrace{|f(x) - f_{N_1}(x)|}_{< \epsilon\ (2)} + \underbrace{|f_{N_1}(x) - l_{N_1}|}_{< \epsilon\ (4)} + \underbrace{|l_{N_1} - l|}_{< \epsilon\ (3)}$$

$\square$

Remarque. La conclusion peut s'écrire

$$\lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \lim_{x \to a} f_n(x)$$

Exemple. Soit $f_n : \begin{cases} [0, 1[ \to \mathbb{R} \\ x \mapsto x^n \end{cases}$, alors $f_n$ converge simplement vers 0 mais il n'y a pas convergence uniforme. Prenons $a = 1$, $\displaystyle\lim_{x \to 1} f_n(x) = 1$, donc $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1} f_n(x) = 1$. Mais $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$.

Autre exemple. $f_n : \begin{cases} [0, \frac{1}{2}] \to \mathbb{R} \\ x \mapsto x^n \end{cases}$. Alors $f_n$ converge uniformément vers 0. $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lim_{x \to \frac{1}{2}} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \frac{1}{2}} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$.

Théorème III.4. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $I$ convergeant uniformément vers $f$. Alors $f$ est continue sur $I$.

Théorème III.5. Soit $I = [a, b]$ un intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$ et soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{K}$. On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers une limite $f$. Alors

$$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt$$

Démonstration. Soit $\epsilon > 0$. Comme $(f_n)$ converge uniformément vers $f$, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que

$$\forall n \geq N, \forall x \in I, |f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{|b - a|}$$

On en déduit que pour $n \geq N$, on a

$$\Big|\int_a^b f_n(x)\,dx - \int_a^b f(x)\,dx\Big| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)|\,dx < \int_a^b \frac{\epsilon}{|b - a|}\,dx = \epsilon$$

ce qui prouve le résultat. $\square$

Théorème III.6. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. On suppose que

• la suite $(f_n)$ converge simplement vers une limite $f$ ;
• la suite $(f'_n)$ converge uniformément vers une limite $g$.

Alors $f$ est de classe $C^1$ et $f' = g$.

Démonstration. Soit $x_0 \in [a, b]$. Pour tout $x \in [a, b]$, on a

$$f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^{x} f'_n(t)\,dt$$

Soit $h(x) = \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt$, alors pour tout $x > x_0$

$$|f_n(x) - f_n(x_0) - h(x)| \leq \int_{x_0}^{x} |f'_n(t) - g(t)|\,dt < |b - a| \sup_{[a,b]} |f'_n - g|$$

Comme $(f'_n)$ converge vers $g$ uniformément, cela montre que $f_n - f_n(x_0)$ converge uniformément vers $h$ sur $[a, b]$. Or $f_n(x_0)$ converge vers $f(x_0)$, donc $(f_n)$ converge vers $f(x_0) + h$. On en déduit

$$f(x) = f(x_0) + h(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^{x} g(t)\,dt$$

Cette formule montre que $f$ est dérivable de dérivée $g$. $\square$

Séries de fonctions

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$.

Définition. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. La série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ est la suite de fonctions $S_N(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{N} f_n(x)$.

Définition. Soit $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ une série de fonctions. On dit que cette série converge simplement si pour tout $x \in I$, la série $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n(x)$ converge.

Définition. Soit $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ une série de fonctions. On dit que cette série converge uniformément si la suite de fonctions $(S_N)$ converge uniformément sur $I$.

Définition. Soit $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ une série de fonctions. On dit que cette série converge normalement si la série numérique $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \sup_I |f_n|$ converge.

Théorème III.7. La convergence uniforme implique la convergence simple d'une série de fonctions. La convergence normale d'une série de fonctions implique la convergence uniforme de la série.

Démonstration. La première partie est évidente. Supposons que $\sum f_n$ est une série de fonctions normalement convergente. Soit $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f_k$. On va montrer que la suite de fonctions $(S_n)$ vérifie le critère de Cauchy uniforme. On se donne $\epsilon > 0$. Comme la série converge absolument, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que

$$\sum_{n \geq N} \sup_{x \in I} |f_n(x)| < \epsilon$$

Supposons que $m \geq n \geq N$ et soit $x \in I$, alors

$$|S_m(x) - S_n(x)| = \Big|\sum_{k=n+1}^{m} f_k(x)\Big| \leq \sum_{k=n+1}^{m} |f_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^{m} |f_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^{m} |f_k(x)| \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \sup_{z \in I} |f_k(z)| < \epsilon$$

ce qui prouve le critère de Cauchy uniforme et donc la convergence uniforme de la série. $\square$

Théorème III.8. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{K}$. On suppose que la série $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ converge uniformément. Alors la fonction $f = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ est continue sur $I$.

Démonstration. Il suffit d'appliquer le théorème correspondant à la suite de fonctions $S_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f_k(x)$. $\square$

Théorème III.9. Soit $I = [a, b]$ un intervalle fermé borné de $\mathbb{R}$ et soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{K}$. On suppose que la série $\sum f_n$ converge uniformément et on note $f = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} f_n$. Alors la série numérique $\displaystyle\sum_{n \in \mathbb{N}} \Big(\int_a^b f_n(t)\,dt\Big)$ converge et on a

$$\sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b f_n(t)\,dt = \int_a^b \sum_{n=0}^{\infty} f_n(t)\,dt$$

Démonstration. Il suffit d'appliquer le théorème correspondant à la suite de fonctions $S_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f_k(x)$. $\square$

Théorème III.10. Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de classe $C^1$ sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$. On suppose que

• la série $\sum f_n$ converge simplement vers une somme $f$ ;
• la série $\sum f'_n$ converge uniformément vers une somme $g$.

Alors $f$ est de classe $C^1$ et $f' = g$.

Démonstration. Il suffit d'appliquer le théorème correspondant à la suite de fonctions $S_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} f_k(x)$. $\square$