Optique : mesure de distance focale

Avant-propos

Il faut rappeler que les travaux pratiques sont théoriquement des devoirs personnels (mais bon, ça fait 10 ans qu'ils font les mêmes TP...) : il est donc fortement déconseillé d'amener ce fascicule en séance de TP. Ce fascicule permet de préparer en amont les TP (on peut utiliser son téléphone pendant les TP).

Les TP « électrocinétique 1 » et « électromagnétisme » ne sont pas présents ; le compte rendu « optique 2 » est présent dans le dossier du semestre 2.

Les données expérimentales de « Mécanique » sont approximatives, la théorie est juste.

Mesure de distance focale

Auto-collimation

Position de l'image finale $\overline{A''B''}$ : dans le plan de l'objet $AB$, mais renversée.

Valeur du grandissement global : $\gamma = \dfrac{\overline{A''B''}}{\overline{AB}}$ : $\gamma = -1$.

Principe de détermination de la distance focale : on observe l'écran (= objet) et on déplace l'ensemble lentille + miroir le long du banc optique. On positionne ce dernier de manière à avoir une image nette dans le plan objet. On vérifie que la position du miroir est indépendante. On obtient $f'$ en mesurant la distance source-lentille.

Mesures (avec incertitudes) :

• première valeur de $f'$ : $9{,}6 \pm 0{,}1$ cm ;
• deuxième valeur de $f'$ : $9{,}4 \pm 0{,}1$ cm.

Distance focale moyenne (avec l'incertitude) : $f' = \dfrac{f'_1 + f'_2}{2} = 9{,}5 \pm 0{,}2\ \text{cm}$ (ou $\pm 0{,}1$ cm).

Influence de la position du miroir : la position du miroir n'influence pas le résultat car les rayons qui arrivent sur le miroir sont parallèles entre eux ; l'image sera donc nette peu importe la distance. L'image est renversée et réelle ; cependant, si on éloigne le miroir, certains rayons ne traversent plus la lentille et l'image disparaît donc peu à peu. Ces observations sont confirmées expérimentalement.

Méthode de Bessel

Mesures.

$D \pm \Delta D$ (cm)	$d \pm \Delta d$ (cm)	$f' \pm \Delta f'$ (cm)
$80{,}0 \pm 0{,}1$	$56{,}6 \pm 0{,}2$	$10{,}0 \pm 0{,}13$
$60{,}0 \pm 0{,}1$	$34{,}8 \pm 0{,}2$	$10{,}0 \pm 0{,}11$

Estimation des incertitudes.

	Incertitude de lecture	Incertitude de netteté	Incertitude totale
$D$	0,1	0	0,1
$d$	0,1	0,15	0,25

Expression de l'incertitude $\Delta f'$ :

$$\Delta f' = \left|\frac{\partial f'}{\partial D}\right|\Delta D + \left|\frac{\partial f'}{\partial d}\right|\Delta d = \frac{D^2 + d^2}{4D^2}\Delta D + \frac{d}{2D}\Delta d$$

• $D = 80$ cm $\Rightarrow \Delta f' \sim 0{,}13$ cm ;
• $D = 60$ cm $\Rightarrow \Delta f' \sim 0{,}11$ cm.

Méthode de Silbermann

Expression de $\overline{AA'}$ en fonction de $f'$ : $\overline{AA'} = -\overline{OA} + \overline{OA'} = 2\overline{OA'} = 4f'$ (relation de Descartes avec origine au centre : $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$).

Mesure : $\overline{AA'} = 40{,}0 \pm 0{,}2$ cm.

Distance focale : $f' = 10{,}0 \pm 0{,}05$ cm.

Lien entre les méthodes de Bessel et de Silbermann : dans la méthode de Bessel, il fallait $D > 4f'$. Pour Silbermann, on trouve $\overline{AA'} = 4f'$ : c'est donc un cas particulier de la méthode de Bessel (où $d = 0$), et les résultats coïncident.

Conclusion

Avec les trois méthodes, on a des valeurs très proches. Il y a cependant des différences entre les méthodes de calcul :

Auto-collimation : rapide, mais incertitude la plus élevée.

Bessel : il faut plus de matériel ; assez simple, assez précise.

Silbermann : plus complexe, plus précise.

Détermination de la focale par la formule de conjugaison

$\overline{OA}$ (cm)	$-40{,}0$	$-35{,}0$	$-30{,}0$	$-25{,}0$	$-20{,}0$	$-15{,}0$	$-10{,}0$
$\overline{OA'}$ (cm)	$13{,}4$	$13{,}9$	$14{,}8$	$16{,}4$	$19{,}2$	$25{,}2$	non mesurable
$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$	$-0{,}38$	$-0{,}40$	$-0{,}49$	$-0{,}66$	$-0{,}96$	$-1{,}787$	non calculable
$\overline{A'B'}$ (cm)	$-0{,}5$	$-0{,}6$	$-0{,}7$	$-1{,}0$	$-1{,}4$	$-2{,}6$	$\times$
$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$	$-0{,}3$	$-0{,}4$	$-0{,}5$	$-0{,}7$	$-1{,}0$	$-1{,}8$	$\times$

Calcul de l'expression théorique de $\gamma$ en fonction de $\overline{OA'}$ et $f'$ :

$$\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \overline{OA'}\left(\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{f'}\right) = 1 - \frac{\overline{OA'}}{f'}$$

(relation de conjugaison).

Commentaires sur la courbe : c'est une droite affine, donc le coefficient directeur est $-\dfrac{1}{f'}$ et l'ordonnée à l'origine vaut 1.

Valeur de $f'$ (deux méthodes) :

1. $f' = 9{,}1$ cm ;
2. $f' = 10{,}0$ cm.

Explication de la valeur de $f'$ :

1. La pente : $\dfrac{\Delta\gamma}{\Delta\overline{OA'}} = -0{,}11 \rightarrow f' = 9{,}1$.
2. Si $\gamma \to 0$, on a $\overline{OA'} = 10{,}0$ cm. En injectant dans la relation de conjugaison, on obtient $f' = 10{,}0$ cm.

Conclusion générale

Différentes méthodes existent pour déterminer la distance focale image. La plus simple est l'auto-collimation, mais elle est peu précise. Celle de la formule de conjugaison est précise (multi-mesure) mais longue. Les méthodes de Bessel et de Silbermann sont précises mais moins longues. Tous les résultats restent cohérents.