Mécanique du point

Analyse théorique préliminaire

Principe d'inertie

Définir le référentiel, le repère et le système étudié (on choisira toujours la position du centre de masse du mobile, à t = 0, comme origine du repère). À partir du bilan des forces, justifier le fait que le système soit isolé. Le référentiel du laboratoire est un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On se place dans le repère cartésien $(O, \vec{e_x}, \vec{e_y})$ avec pour origine la position du mobile à $t = 0$. Le système est le mobile autoporté de masse $m = 230 \pm 1$ g.

Bilan des forces : $\begin{cases} \text{Poids } \vec{P} \\ \text{Réaction } \vec{R} \end{cases}$. Les deux forces sont selon $\vec{e_z}$, or le système se déplace selon $\vec{e_x}$ et $\vec{e_y}$. Ainsi on a $\vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \Rightarrow \sum \vec{F} = \vec{0}$. Le système est donc isolé.

Écrire les équations du mouvement. En déduire la vitesse puis la position en fonction du temps. Le système est isolé, ainsi $\sum \vec{F} = \vec{0} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$. On en déduit donc

$$\vec{v} = \overrightarrow{cte} = \vec{v_0} = \begin{cases} v_{0_x}\vec{e_x} \\ v_{0_y}\vec{e_y} \end{cases}$$

On peut donc déduire la position :

$$\begin{cases} v_{0_x} t\,\vec{e_x} \\ v_{0_y} t\,\vec{e_y} \end{cases}$$

Principe fondamental de la dynamique

Définir le référentiel, le repère et le système étudié. Faire le bilan des forces, et exprimer leurs composantes (en fonction de $\alpha$) dans le repère suggéré sur la figure. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen. On se place dans le repère $(O, \vec{e_x}, \vec{e_y}, \vec{e_z})$. Le système est le mobile autoporté de masse $m = 230 \pm 1$ g.

Bilan des forces : $\begin{cases} \text{Poids } \vec{P} \\ \text{Réaction } \vec{R} \end{cases}$ avec $\begin{cases} \vec{P} = -P\cos(\alpha)\vec{e_z} - P\sin(\alpha)\vec{e_y} \\ \vec{R} = R\vec{e_z} = mg\cos(\alpha)\vec{e_z} \end{cases}$

Écrire les équations du mouvement. En déduire la vitesse puis la position en fonction du temps. En déduire l'équation de la trajectoire. Quelle est la nature de cette trajectoire ?

$$\sum \vec{F} = m\vec{a} = \vec{P} + \vec{R} = (-mg\cos(\alpha) + mg\cos(\alpha))\vec{e_z} - mg\sin(\alpha)\vec{e_y} = m\vec{a} \Rightarrow \vec{a} = -g\sin(\alpha)\vec{e_y}$$

$$\Rightarrow \vec{v}(t) = \begin{cases} v_{0_x}\vec{e_x} \\ (-g\sin(\alpha)t + v_{0_y})\vec{e_y} \\ 0\,\vec{e_z} \end{cases}$$

On en déduit la position :

$$\begin{cases} v_{0_x} t\,\vec{e_x} \\ \left(-\dfrac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2 + v_{0_y} t\right)\vec{e_y} \\ 0\,\vec{e_z} \end{cases}$$

Les constantes d'intégration sont nulles par choix du référentiel. On a donc l'équation de la trajectoire, parabolique :

$$y(t) = -\frac{1}{2}g\sin(\alpha)\frac{x^2}{v_{0_x}^2} + v_{0_y}\frac{x}{v_{0_x}}$$

Conservation de l'énergie

Exprimer $h$ en fonction de $y$ et de $\sin(\alpha)$.

$$h = y\sin(\alpha)$$

À partir des résultats obtenus en 1.2, déterminer les expressions de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle du système étudié. Tracer ces grandeurs en fonction du temps.

$$\begin{aligned} E_c &= \frac{1}{2}m\left(v_{0_x}^2 + (-g\sin(\alpha)t + v_{0_y})^2\right) \\ &= \frac{1}{2}mv_{0_x}^2 + \frac{1}{2}m\left(g^2\sin^2(\alpha)t^2 - 2v_{0_y}g\sin(\alpha)t + v_{0_y}^2\right) \\ &= \frac{1}{2}m\left(v_{0_x}^2 + v_{0_y}^2 + g^2\sin^2(\alpha)t^2 - 2gv_{0_y}\sin(\alpha)t\right) \end{aligned}$$

$$E_p = mgh = mgy\sin(\alpha) = mg\sin(\alpha)\left(-\frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2 + v_{0_y}t\right)$$

Calculer la somme $E_c + E_p$. Comment varie cette quantité au cours du temps ? Que peut-on conclure sur les forces en présence ?

$$E_c + E_p = \frac{1}{2}m\left(v_{0_x}^2 + v_{0_y}^2 + g^2\sin^2(\alpha)t^2 - 2gv_{0_y}\sin(\alpha)t\right) + mg\sin(\alpha)\left(-\frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2 + v_{0_y}t\right) = \frac{1}{2}mv_0^2 = cte$$

L'énergie mécanique est donc constante : il y a conservation de l'énergie, et donc les forces sont conservatives.

Expériences

Principe d'inertie

Principe fondamental de la dynamique

Conservation de l'énergie