Électrocinétique : dipôles linéaires en régime sinusoïdal

Étude de dipôles linéaires en régime sinusoïdal

Mesure d'impédance

Résistance

Balayer la fréquence de 50 Hz à 5 kHz. Décrire qualitativement comment varient $U$ et $I$. $U(50\ \text{Hz}) = 4{,}04\ \text{V}$, $U(5\ \text{kHz}) = 4{,}01\ \text{V}$, $\dfrac{\Delta U}{U} \approx 0{,}0075 < 1\,\%$ et $I(50\ \text{Hz}) = 8{,}50\ \text{mA}$, $I(5\ \text{kHz}) = 8{,}51\ \text{mA}$, $\dfrac{\Delta I}{I} \approx 0{,}001 < 1\,\%$. Ainsi, les variations sont négligeables.

La valeur de l'impédance $Z$ dépend-elle de la fréquence ? On a la relation $Z = \dfrac{U}{I}$, or $U$ et $I$ sont constants (voir l'approximation précédente), ainsi $Z$ est constant. Donc $Z$ ne dépend pas de la fréquence.

Pour une fréquence de l'ordre de 500 Hz, remplir le tableau 1.

Grandeur	Valeur
$f$	$403\ \text{Hz}$
$U$	$4\ \text{V}$
$I$	$8{,}54\ \text{mA}$
$Z$	$468{,}38\ \Omega$

Rappeler l'expression théorique de l'impédance complexe d'une résistance. En déduire la valeur de la résistance $R$ et l'incertitude sur $R$. $\underline{Z_R} = R\angle 0 = R$, d'où $R = \underline{Z_R} = 468{,}38\ \Omega$.

Condensateur

Balayer la fréquence de 50 Hz à 5 kHz. Décrire qualitativement comment varient $U$ et $I$. $U(50\ \text{Hz}) = 3{,}99\ \text{V}$, $U(5\ \text{kHz}) = 3{,}55\ \text{V}$, $\dfrac{\Delta U}{U} \approx 0{,}11 > 1\,\%$ et $I(50\ \text{Hz}) = 0{,}36\ \text{mA}$, $I(5\ \text{kHz}) = 3{,}48\ \text{mA}$, $\dfrac{\Delta I}{I} > 1\,\%$. Ainsi, quand on fait varier $f$, $U$ diminue et $I$ augmente.

La valeur de l'impédance $Z$ dépend-elle de la fréquence ? On a la relation $Z = \dfrac{U}{I}$, ainsi $Z(50\ \text{Hz}) = 11083\ \Omega$ et $Z(5\ \text{kHz}) = 116{,}4\ \Omega$. On a bien $Z$ qui diminue quand on augmente la fréquence (ce qui confirme la loi d'Ohm).

Pour une fréquence de l'ordre de 1 kHz, remplir le tableau 2.

Grandeur	Valeur
$f$	$985{,}2\ \text{Hz}$
$U$	$3{,}97\ \text{V}$
$I$	$6{,}83\ \text{mA}$
$Z$	$581{,}26\ \Omega$

Rappeler l'expression théorique de l'impédance complexe d'un condensateur. En déduire la valeur de la capacité $C$ et l'incertitude sur $C$. On a $\underline{Z_C} = \dfrac{1}{C\omega}\angle -\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{jC\omega}$, d'où $C = \dfrac{1}{Z\omega} = \dfrac{1}{Z 2\pi f} = \dfrac{1}{581{,}26 \times 2\pi \times 985{,}2} = 2{,}78 \cdot 10^{-7}\ \text{F}$.

Association série RC, intérêt de la représentation complexe

Mesure des valeurs efficaces

Mesurer au multimètre successivement les valeurs efficaces $U$, $U_R$, $U_C$. On a $U = 4{,}01\ \text{V}$, $U_R = 2{,}45\ \text{V}$ et $U_C = 3{,}13\ \text{V}$.

A-t-on $U = U_R + U_C$ ? Justifier la réponse. On a $U \neq U_R + U_C$. C'est normal : la relation est $u(t) = u_R(t) + u_C(t)$, et la relation entre les valeurs efficaces ($U = U_R + U_C$) n'est juste que si les phases sont égales.

Mesure des grandeurs complexes

Mesurer le déphasage de $u_C(t)$ par rapport à $u(t)$. En déduire la valeur de $\phi_C$. On trouve $\phi_C = -38^\circ$ (on choisit $\phi = 0$ comme référence).

Couper le générateur et permuter la résistance et le condensateur, puis mettre à nouveau le générateur en marche. Mesurer le déphasage de $u_R(t)$ par rapport à $u(t)$. En déduire la valeur de $\phi_R$. $\phi_R = 51^\circ$ (on choisit $\phi = 0$ comme référence).

Donner la valeur des nombres complexes $\underline{U}$, $\underline{U_R}$, $\underline{U_C}$ exprimée en notation polaire puis en notation cartésienne. On a $\underline{U} = 4{,}01\angle 0 = 4{,}01$, $\underline{U_R} = 2{,}45\angle\dfrac{17}{60}\pi = 2{,}45\left(\cos\left(\dfrac{17}{60}\pi\right) + j\sin\left(\dfrac{17}{60}\pi\right)\right)$ et $\underline{U_C} = 3{,}13\angle -\dfrac{19}{90}\pi = 3{,}13\left(\cos\left(-\dfrac{19}{90}\pi\right) + j\sin\left(-\dfrac{19}{90}\pi\right)\right)$.

Vérifier que l'on a $\underline{U} = \underline{U_R} + \underline{U_C}$. On a $\underline{U_R} + \underline{U_C} = 4{,}01 - 0{,}02j \approx \underline{U}$.

Conclure sur l'intérêt de la représentation complexe des grandeurs sinusoïdales. Elle permet l'utilisation des lois classiques (mailles, nœuds) sans que les phases soient égales. Elle permet en outre d'éviter des calculs complexes.

Résonance série, détermination du modèle de la bobine réelle

Théorie

Donner l'expression littérale de l'impédance équivalente $\underline{Z_{eq}} = \dfrac{\underline{U}}{\underline{I}} = \dfrac{U_M}{I_M}$ du circuit, sachant qu'elle correspond à la somme de toutes les impédances puisque les éléments sont en série. Isoler la partie réelle et la partie imaginaire.

$$\underline{Z_{eq}} = \underline{Z_R} + \underline{Z_C} + \underline{Z_r} + \underline{Z_L} = R + \frac{-j}{C\omega} + r + jL\omega = (R + r) + j\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)$$

En déduire le module $Z_{eq} = \dfrac{U}{I} = \dfrac{U_M}{I_M}$, en fonction de $r$, $R$, $L$, $C$ et de la pulsation $\omega$.

$$Z_{eq} = \sqrt{(R + r)^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}$$

Déterminer l'expression de la pulsation de résonance $\omega_0$ puis de la fréquence de résonance $f_0$ en fonction de $L$ et $C$. D'une part, $LC\omega_0^2 = 1 \Leftrightarrow \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. D'autre part, $f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\ \text{Hz}$.

Que vaut $Z_{eq}$ à la résonance ? En déduire $I_{Mmax}$, intensité de résonance, en fonction de $U_M$ et des résistances. $Z_{eq} = \sqrt{(R + r)^2} = R + r$ (à la résonance, $Z_{eq}$ est minimum $\Rightarrow Z_e$ = résistance). Ainsi $I_{Mmax} = \dfrac{U_M}{Z_{eq}} = \dfrac{U_M}{r + R}$.

Mesure

Effectuer un balayage de la fréquence du GBF. Qu'observez-vous sur les amplitudes des tensions ?

Déterminer précisément la fréquence de résonance $f_0$ et l'amplitude de $u_R(t)$ à la résonance. On a $f_0 = 915\ \text{Hz}$, $U_{RM} = 1{,}44\ \text{V}$ et $R = ???$

Connaissant $R$, en déduire $I_{Mmax}$, intensité de résonance. Par la loi d'Ohm, $I = \dfrac{U}{R} = ???$

Courbe de résonance : faire varier la fréquence de 50 Hz à 2 kHz et relever les valeurs de $U_{RM}$ pour en déduire les valeurs de $I_M$. Remplir le tableau 3 et tracer la courbe $I_M$ en fonction de la fréquence $f$, en prenant une échelle linéaire pour $f$.

$f$	50	440	830	1230	1610	2000
$I$	0,51	3,60	6,8	6,12	4,60	3,57

Exploitation

Modèle équivalent de la bobine réelle.

À partir des valeurs mesurées de $f_0$ et $I_{Mmax}$, ainsi que des valeurs connues relatives aux autres composants, déterminer le modèle de la bobine, c'est-à-dire son inductance $L$ et sa résistance $r$. On a $L = \dfrac{1}{C(f_0 \cdot 2\pi)^2} = 0{,}12\ \text{H}$ et $r = R\left(\dfrac{U}{U_{AM}} - 1\right) = 76{,}2\ \Omega$.

Qualité de la résonance.

À partir de la courbe de résonance, déterminer les deux fréquences $f_{min}$ et $f_{max}$ pour lesquelles $I_M = I_{Mmax}/\sqrt{2}$. $f_{min} = 580\ \text{Hz}$ et $f_{max} = 1450\ \text{Hz}$.

En déduire la valeur du coefficient de qualité $Q$ défini par $Q = \dfrac{f_0}{f_{max} - f_{min}}$. On a $Q = 1{,}05$.