Modèle géométrique

Modèle géométrique direct

Connaître le modèle géométrique direct (MGD) d'un robot correspond à pouvoir exprimer :

• à partir des coordonnées d'un point vecteur exprimées dans le repère effecteur du robot
• les coordonnées du même point / vecteur exprimées dans le repère de travail du robot
• en fonction des coordonnées articulaires

La MGD se ramène donc à la matrice de transformation homogène ${}^0T_f$, lors du calcul du MGD sur un robot nous pouvons faire face à des calculs de grande complexité oou très redondants. Il est donc nécessaire de choisir un langage commun pour la faire transparaître. Ce langage est la normalisation de Denavit-Hartenberg. :

• Règles imposées de choix des axes et origines
• Unicité des transformations homogènes
• Un et un seul repère lié à chaque articulation

Sur l'exemple du robot ABB ci dessous la formalisme de Denavit-Hartenberg est utilisé pour exprimer les transformations homogènes : ${}^iT_{i+1} = Rot_{z, \theta_{i+1}} . Trans_{a_i + 1, 0, d_{i+1}} . Rot_{X, \alpha_{i+1}}$

Ce formalisme se résume par le tableau de Denavit-Hartenberg

$i,i+1$	$rot_{z_i}$	$trans_{x_{i+1}}$	$trans_{z_i}$	$rot_{x_{i+1}}$
0,1	$\theta_1$		$d_1$	$\alpha_1 = -90°$
1,2	$\theta_2$	$a_2$
2,3	$\theta_3$			$\alpha_3 = -90°$
3,4	$\theta_4$		$d_4$	$\alpha_4 = 90°$
4,5	$\theta_5$			$\alpha_5 = -90°$
5,6	$\theta_6$		$d_6$

Modèle géométrique inverse

Le MGD permet de déterminer l'orientation et la position de l'effecteur du robot, en fonction des variables articulaires $\theta_i, d_i$. Le MGI permet de déterminer les variables articulaires $\theta_i, d_i$ en fonction de l'orientation et la position de l'effecteur du robot. Le MGI n'est pas l'inversion de la matrice ${}^0T_f$ !

Le calcul direct est trop complexe, en effet pour obtenir la posture désirée du robot, il suffit d'écrire l'égalité entre :

• ${}^0T_f(q_i)$ exprimée en fonction des coordonnées articulaire ($q_i = \theta_i, d_i$)
• La posture désirée $U_0 = [{}^0T_f]_{\text{désirée}}$

Méthode de PAUL

Nous faisons le constat que l'équation $U_0 = {}^0T_f(q_1,q_f)$ est composé d'une expression souvent simple à gauche et souvent très complexe à droite. Le but de la méthode de Paul est de simplifier cette expression à droite. Plus particulièrement, il s'agit de les exprimer dans un autre repère que 0 pour permettre aux $q_i$ de n'appaître qu'une seule fois dans l'équation. Certaines équations sont caractéristiques et forment 8 types facile à résoudre présent en annexe.