Couleur, histogramme et seuillage

Cours

Traitements classiques couleur

$$\{(A,B,C)= M.(R,G,B)\} \rightarrow (A', B', C') \rightarrow \{(R',G',B') = M^{-1}.(A',B',C')\}$$

où $M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$

Quelques espaces couleur et applications

• RGB : acquisition/restitution écran
• CMY : impression
• XYZ : modélisation des couleurs
• YUV/YCbCr : transmission et codage
• HSV/HSL : espace intuitif, vision humaine
• Lab/Luv : espace uniforme, distance entre les couleurs

Contraste et histogramme

1. Contraste : caractérisation des différences (variations) de niveau de gris
   • maximale : $C = \dfrac{max_I - min_I}{max_I + min_I}$
   • écart type : $C = \sqrt{\dfrac{1}{MN} \sum \limits_{i,j}^{MN} (I(i,j) - B)^2}$ avec $B= \dfrac{1}{MN} \sum \limits_{i,j}^{MN} I(i,j)$
2. Histogramme : description de la répartition des niveaux de gris, distribution statistique, bornes de la répartition
   • $H(k) = \#\{(i,j) \in M \times N : I(i,j) = k\}$
   • Il ne code pas l'information spatiale, 2 images sémantiquement différentes peuvent avoir le même histogramme
   • Il n'est pas possible de reconstruire une image à partir de son histogramme
3. Contraste $\leftrightarrow$ histogramme : des valeurs concentrées près de 0 ou de 255 correspondent à une image sombre ou claire ; des valeurs tassées ou étalées correspondent à un contraste faible ou élevé.
4. Éclaircir une image sombre : correction logarithmique $I' = \log(1+I)$ (suivie d'une renormalisation)
5. Assombrir une image claire : correction exponentielle $I' = \exp(I)$ (suivie d'une renormalisation)
6. Translation d'histogramme : conserver le contraste mais modifier la luminosité
7. Normalisation : étirement d'histogramme
   • Modifier l'intervalle de variation $[min, max] \rightarrow [min', max']$
   • Général $I'(i,j) = \dfrac{max' - min'}{max - min} I(i,j) + \dfrac{min'.max - max'.min}{max-min}$
   • Particulier $[min, max] \rightarrow [0,255]$, $I'(i,j) = \dfrac{255}{max - min}(I(i,j) - min)$

Équilibrage d'histogramme

Définitions : pour une intensité $k$ d'une image $I$ de taille $M \times N$ à $K$ intensités :

• Histogramme normalisé : $H_n(k) = \dfrac{H(k)}{MN}$ c'est une loi de probabilité : la probabilité qu'un pixel ait le niveau de gris $k$ vaut $H_n(k)$, avec $H_n(k) \geq 0$ et $\sum \limits_{k=0}^{K-1} H_n(k)=1$
• Histogramme cumulé : $H_c(k) = \sum \limits_{l=0}^k H(l)$
• Histogramme cumulé normalisé : $H_{cn}(k) = \sum \limits_{l=0}^k H_n(l)$ c'est-à-dire la fonction de répartition de la loi de probabilité
• $k = I(i,j)$, l'intensité initiale, $k' = I'(i,j)$ la nouvelle
• $I_{max}$ une intensité maximale (par exemple 255). La transformation d'égalisation est alors : $k' = I_{max} H_{cn}(k) = I_{max} \sum \limits_{l=0}^k H_n(l) = I_{max} \sum \limits_{l=0}^k \dfrac{H(l)}{MN}$

Seuillage (Thresholding)

• Ramener l'image à quelques niveaux de gris dans une bande
• Mettre en avant des régions ou des détails, sans améliorer l'image

Quelques variantes sur le seuillage global

$I_{[i_{min}, i_{max}]}(p) = \begin{cases} i_1 \; \text{si} \; i_{min} \leq I(p) \leq i_{max} \\ i_2 \; \text{sinon} \end{cases} \; \text{ou} \; \begin{cases} i_1, \; \text{si} \; i_{min} \leq I(p) \leq i_{max} \\ I(p), \; \text{sinon} \end{cases}$

Cas particulier : binarisation

$I_{[i_{min}, i_{max}]}(p) = \begin{cases} 1 \; \text{si} \; i_{min} \leq I(p) \leq i_{max} \\ 0 \; \text{sinon} \end{cases}$

Seuillage adaptatif local

Le paramètre de seuillage dépend d'un voisinage $V$ autour du pixel $p$ (transformation locale) : $I'(p) = \begin{cases} i_1, \; \text{si} \; I(p) \leq F(V(p)) \\ i_2, \; \text{sinon} \end{cases}$

• Le seuillage est principalement utilisé en niveaux de gris
• Difficulté de trouver les valeurs de seuillage, très dépendant de l'application, de nombreuses méthodes existent

Otsu

Minimiser la variance intra-classe $v_w(t)$ : pour $I$ de taille $M \times N$ à $K$ intensités, un seuil $t$ sépare deux classes $C_1$ et $C_2$, et $v_w(t) = p_1(t) v_1(t) + p_2(t) v_2(t)$, où $v_i(t)$ est la variance de la classe $C_i$ : $p_1(t) = \dfrac{1}{MN} \sum \limits_{i = 0}^t H(i) = \sum \limits_{i=0}^t H_n(i) \; \text{et} \; p_2(t) = \dfrac{1}{MN} \sum \limits_{i=t+1}^{K-1} H(i) = \sum \limits_{i=t+1}^{K-1} H_n(i)$ avec $p_1,p_2$ les probabilités d'appartenance aux classes $C_1$ et $C_2$. Le seuil optimal est $T = \operatorname{argmin}\{v_w(t), t \in [0, K-1]\}$.

Maximisation de la variance inter-classe $v_b(t)$ : minimiser $v_w(t)$ revient à maximiser $v_b(t) = p_1(t) p_2(t)(\mu_1(t) - \mu_2(t))^2$ $\mu_1(t) = \dfrac{1}{\sum \limits_{i=0}^t H(i)} \sum \limits_{i=0}^t i.H(i) \; \text{et} \; \mu_2(t) = \dfrac{1}{\sum \limits_{i=t+1}^{K-1} H(i)} \sum \limits_{i=t+1}^{K-1} i.H(i)$ où $\mu_1$, $\mu_2$ sont les moyennes des classes $C_1$ et $C_2$. Le seuil optimal est $T = \operatorname{argmax}\{v_b(t), t \in [0, K-1]\}$.

Maximiser $v_b$ est plus efficace algorithmiquement que minimiser $v_w$ : la variance totale $v_w + v_b$ est constante, et les quantités $p_1$ et $\mu_1$ se mettent à jour incrémentalement lorsque $t$ augmente, puisque $p_1 + p_2 = 1$ et $p_1 \mu_1 + p_2 \mu_2 = \mu_I$, avec $\mu_I$ la moyenne globale de l'image $I$.

Mise en pratique

color-convert <ims>

Écrire le programme color-convert.cpp qui :

• affiche les canaux R,G et B dans 3 images monochromes
• convertit l'image couleur en niveaux de gris et l'affiche
• convertit l'image RGB en YCbCr et la reconvertit en RGB, afficher l'image résultat
• affiche les canaux Y, Cb et Cr
• y a-t-il une différence entre l'image en niveaux de gris et le canal Y ?
• y a-t-il une différence entre l'image initiale et l'image reconvertie en RGB ?
• Note 1 : pour convertir les images dans d'autres espaces couleurs utiliser la fonction cvtColor
• Note 2 : pour pouvoir voir les différences, il est conseillé de faire attention aux types de données

hsv-modification <h> <s> <v> <ims> <imd>

Écrire le programme hsv-modification.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• convertit l'image dans l'espace HSV
• affiche les canaux $h$, $s$ et $v$ (si applicable, attention aux problèmes de normalisation)
• modifie les canaux HSV en fonction des valeurs $h$, $s$ et $v$ données en paramètres en les ajoutant aux valeurs initiales
• sauvegarde la nouvelle image avec le nom donné en paramètre <imd>
• visualiser l'image produite via pvisu

eq-histogram <ims>

Écrire le programme eq-histogram.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• réalise la méthode d'équilibrage d'histogramme de l'image source
• la méthode considère que l'image est en niveaux de gris
• la construction des histogrammes se fait "à la main"
• sauve l'image dans un fichier eq.png
• utiliser la fonction OpenCV equalizeHist ; sauver le résultat dans une image eq-ocv.png
• calculer une image de différence : diff.png
• visualiser les images produites via pvisu

adaptative-th <ims> <radius> <const>

Écrire le programme adaptative-th.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• réalise un seuillage adaptatif avec la moyenne, où le voisinage est déterminé par le paramètre <radius> (voisinage de taille $(2 \cdot radius + 1) \times (2 \cdot radius + 1)$) et paramétré par la constante <const>
• sauve l'image dans un fichier th.png
• utiliser la fonction adaptiveThreshold et réaliser le même seuillage. Sauver dans une image th-ocv-mean.png
• calculer une image de différence diff.png
• tester l'option ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C et sauver l'image dans th-ocv-gauss.png
• visualiser l'image produite en la visualisant via pvisu

otsu <ims>

Écrire le programme otsu.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>. L'image est traitée comme une image en niveaux de gris
• réalise une binarisation en utilisant le calcul d'un seuil automatique par la méthode d'Otsu
• affiche l'image binaire et la sauve dans un fichier nommé otsu-th.png
• utilise la fonction threshold avec le paramètre THRESH_BINARY + THRESH_OTSU afin de réaliser la même opération. Afficher l'image binaire et la sauver dans un fichier otsu-th-ocv.png
• affiche une image de différence entre les deux méthodes
• affiche sur la sortie standard les valeurs de seuil trouvées par votre implémentation et par OpenCV. Comparer les valeurs
• visualiser les images résultats via pvisu
• Remarque importante : en analysant l'algorithme, les équations de la méthode d'Otsu et les propriétés suivantes : $p_1 \mu_1 + p_2 \mu_2 = \mu_G$ et $p_1 + p_2 = 1$, une implémentation plus efficace peut être réalisée par rapport à une version naïve de l'algorithme. Il est fortement conseillé de produire une telle implémentation.