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Systèmes de coordonnées

SC1​

  1. Vecteur position :

    • cartésiennes : OM→=xe⃗x+ye⃗y+ze⃗z\overrightarrow{OM} = x\vec{e}_x + y\vec{e}_y + z\vec{e}_z ;
    • cylindriques : OM→=ρe⃗ρ+ze⃗z\overrightarrow{OM} = \rho\vec{e}_\rho + z\vec{e}_z ;
    • sphériques : OM→=re⃗r\overrightarrow{OM} = r\vec{e}_r.

  2. Bases locales :

    Cylindriques : (ρ,φ,z){e⃗ρ=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗ye⃗φ=−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗ye⃗zSpheˊriques : (r,θ,φ){e⃗r=sin⁡θcos⁡φ e⃗x+sin⁡θsin⁡φ e⃗y+cos⁡θ e⃗ze⃗θ=cos⁡θcos⁡φ e⃗x+cos⁡θsin⁡φ e⃗y−sin⁡θ e⃗ze⃗φ=−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗y\text{Cylindriques : } (\rho, \varphi, z) \begin{cases} \vec{e}_\rho = \cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y \\ \vec{e}_\varphi = -\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y \\ \vec{e}_z \end{cases} \qquad \text{Sphériques : } (r, \theta, \varphi) \begin{cases} \vec{e}_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vec{e}_y + \cos\theta\,\vec{e}_z \\ \vec{e}_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\vec{e}_x + \cos\theta\sin\varphi\,\vec{e}_y - \sin\theta\,\vec{e}_z \\ \vec{e}_\varphi = -\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y \end{cases}

    Cylindriques :

    • e⃗˙ρ=ddt(cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y)=ddt(cos⁡φ)e⃗x+ddt(sin⁡φ)e⃗y=−dφdtsin⁡φ e⃗x+dφdtcos⁡φ e⃗y\dot{\vec{e}}_\rho = \dfrac{d}{dt}(\cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y) = \dfrac{d}{dt}(\cos\varphi)\vec{e}_x + \dfrac{d}{dt}(\sin\varphi)\vec{e}_y = -\dfrac{d\varphi}{dt}\sin\varphi\,\vec{e}_x + \dfrac{d\varphi}{dt}\cos\varphi\,\vec{e}_y, soit e⃗˙ρ=−φ˙sin⁡φ e⃗x+φ˙cos⁡φ e⃗y=φ˙(−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗y)\dot{\vec{e}}_\rho = -\dot{\varphi}\sin\varphi\,\vec{e}_x + \dot{\varphi}\cos\varphi\,\vec{e}_y = \dot{\varphi}(-\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y) et e⃗˙ρ=φ˙e⃗φ\dot{\vec{e}}_\rho = \dot{\varphi}\vec{e}_\varphi ;
    • e⃗˙φ=ddt(−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗y)=−φ˙cos⁡φ e⃗x−φ˙sin⁡φ e⃗y=−φ˙(cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y)\dot{\vec{e}}_\varphi = \dfrac{d}{dt}(-\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y) = -\dot{\varphi}\cos\varphi\,\vec{e}_x - \dot{\varphi}\sin\varphi\,\vec{e}_y = -\dot{\varphi}(\cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y), soit e⃗˙φ=−φ˙e⃗ρ\dot{\vec{e}}_\varphi = -\dot{\varphi}\vec{e}_\rho ;
    • e⃗˙z=0⃗\dot{\vec{e}}_z = \vec{0}.

    Sphériques :

    • e⃗˙r=de⃗rdt=(θ˙cos⁡θcos⁡φ−φ˙sin⁡θsin⁡φ)e⃗x+(θ˙cos⁡θsin⁡φ+φ˙sin⁡θcos⁡φ)e⃗y−θ˙sin⁡θ e⃗z\dot{\vec{e}}_r = \dfrac{d\vec{e}_r}{dt} = (\dot{\theta}\cos\theta\cos\varphi - \dot{\varphi}\sin\theta\sin\varphi)\vec{e}_x + (\dot{\theta}\cos\theta\sin\varphi + \dot{\varphi}\sin\theta\cos\varphi)\vec{e}_y - \dot{\theta}\sin\theta\,\vec{e}_z, soit e⃗˙r=θ˙(cos⁡θcos⁡φ e⃗x+cos⁡θsin⁡φ e⃗y−sin⁡θ e⃗z)+φ˙(−sin⁡θsin⁡φ e⃗x+sin⁡θcos⁡φ e⃗y)\dot{\vec{e}}_r = \dot{\theta}(\cos\theta\cos\varphi\,\vec{e}_x + \cos\theta\sin\varphi\,\vec{e}_y - \sin\theta\,\vec{e}_z) + \dot{\varphi}(-\sin\theta\sin\varphi\,\vec{e}_x + \sin\theta\cos\varphi\,\vec{e}_y) et e⃗˙r=θ˙e⃗θ+φ˙sin⁡θ e⃗φ\dot{\vec{e}}_r = \dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi ;
    • e⃗˙θ=de⃗θdt=(−θ˙sin⁡θcos⁡φ−φ˙cos⁡θsin⁡φ)e⃗x+(−θ˙sin⁡θsin⁡φ+φ˙cos⁡θcos⁡φ)e⃗y−θ˙cos⁡θ e⃗z\dot{\vec{e}}_\theta = \dfrac{d\vec{e}_\theta}{dt} = (-\dot{\theta}\sin\theta\cos\varphi - \dot{\varphi}\cos\theta\sin\varphi)\vec{e}_x + (-\dot{\theta}\sin\theta\sin\varphi + \dot{\varphi}\cos\theta\cos\varphi)\vec{e}_y - \dot{\theta}\cos\theta\,\vec{e}_z, soit e⃗˙θ=−θ˙(sin⁡θcos⁡φ e⃗x+sin⁡θsin⁡φ e⃗y+cos⁡θ e⃗z)+φ˙cos⁡θ(−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗y)\dot{\vec{e}}_\theta = -\dot{\theta}(\sin\theta\cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vec{e}_y + \cos\theta\,\vec{e}_z) + \dot{\varphi}\cos\theta(-\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y) et e⃗˙θ=−θ˙e⃗r+φ˙cos⁡θ e⃗φ\dot{\vec{e}}_\theta = -\dot{\theta}\vec{e}_r + \dot{\varphi}\cos\theta\,\vec{e}_\varphi ;
    • e⃗˙φ=−φ˙cos⁡φ e⃗x−φ˙sin⁡φ e⃗y=−φ˙(cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y)\dot{\vec{e}}_\varphi = -\dot{\varphi}\cos\varphi\,\vec{e}_x - \dot{\varphi}\sin\varphi\,\vec{e}_y = -\dot{\varphi}(\cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y). On voit que sin⁡θ e⃗r+cos⁡θ e⃗θ=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗y\sin\theta\,\vec{e}_r + \cos\theta\,\vec{e}_\theta = \cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y, donc e⃗˙φ=−φ˙(sin⁡θ e⃗r+cos⁡θ e⃗θ)\dot{\vec{e}}_\varphi = -\dot{\varphi}(\sin\theta\,\vec{e}_r + \cos\theta\,\vec{e}_\theta).

  3. Vecteur vitesse v⃗=dOM→dt\vec{v} = \dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt} :

    • cartésiennes : v⃗=x˙e⃗x+y˙e⃗y+z˙e⃗z\vec{v} = \dot{x}\vec{e}_x + \dot{y}\vec{e}_y + \dot{z}\vec{e}_z ;
    • cylindriques : v⃗=ρ˙e⃗ρ+ρe⃗˙ρ+z˙e⃗z (+ze⃗˙z=0⃗)=ρ˙e⃗ρ+ρφ˙e⃗φ+z˙e⃗z\vec{v} = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho\dot{\vec{e}}_\rho + \dot{z}\vec{e}_z\ (+ z\dot{\vec{e}}_z = \vec{0}) = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \dot{z}\vec{e}_z ;
    • sphériques : v⃗=r˙e⃗r+re⃗˙r=r˙e⃗r+rθ˙e⃗θ+rφ˙sin⁡θ e⃗φ\vec{v} = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\vec{e}}_r = \dot{r}\vec{e}_r + r\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi.

    Vecteur accélération γ⃗=dv⃗dt\vec{\gamma} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} :

    • cartésiennes : γ⃗=x¨e⃗x+y¨e⃗y+z¨e⃗z\vec{\gamma} = \ddot{x}\vec{e}_x + \ddot{y}\vec{e}_y + \ddot{z}\vec{e}_z ;

    • cylindriques :

      γ⃗=ρ¨e⃗ρ+ρ˙e⃗˙ρ+ρ˙φ˙e⃗φ+ρφ¨e⃗φ+ρφ˙e⃗˙φ+z¨e⃗z (+z˙e⃗˙z=0)γ⃗=ρ¨e⃗ρ+ρ˙φ˙e⃗φ+ρ˙φ˙e⃗φ+ρφ¨e⃗φ−ρφ˙φ˙e⃗ρ+z¨e⃗zγ⃗=(ρ¨−ρφ˙2)e⃗ρ+(2ρ˙φ˙+ρφ¨)e⃗φ+z¨e⃗z\begin{aligned} \vec{\gamma} &= \ddot{\rho}\vec{e}_\rho + \dot{\rho}\dot{\vec{e}}_\rho + \dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \rho\ddot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \rho\dot{\varphi}\dot{\vec{e}}_\varphi + \ddot{z}\vec{e}_z\ (+ \dot{z}\dot{\vec{e}}_z = 0) \\ \vec{\gamma} &= \ddot{\rho}\vec{e}_\rho + \dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \dot{\rho}\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \rho\ddot{\varphi}\vec{e}_\varphi - \rho\dot{\varphi}\dot{\varphi}\vec{e}_\rho + \ddot{z}\vec{e}_z \\ \vec{\gamma} &= (\ddot{\rho} - \rho\dot{\varphi}^2)\vec{e}_\rho + (2\dot{\rho}\dot{\varphi} + \rho\ddot{\varphi})\vec{e}_\varphi + \ddot{z}\vec{e}_z \end{aligned}

    • sphériques :

      γ⃗=r¨e⃗r+r˙e⃗˙r+r˙θ˙e⃗θ+rθ¨e⃗θ+rθ˙e⃗˙θ+r˙φ˙sin⁡θ e⃗φ+rφ¨sin⁡θ e⃗φ+rφ˙θ˙cos⁡θ e⃗φ+rφ˙sin⁡θ e⃗˙φγ⃗=r¨e⃗r+r˙(θ˙e⃗θ+φ˙sin⁡θ e⃗φ)+r˙θ˙e⃗θ+rθ¨e⃗θ+rθ˙(−θ˙e⃗r+φ˙cos⁡θ e⃗φ)+r˙φ˙sin⁡θ e⃗φ+rφ¨sin⁡θ e⃗φ+rφ˙θ˙cos⁡θ e⃗φ+rφ˙sin⁡θ(−φ˙sin⁡θ e⃗r−φ˙cos⁡θ e⃗θ)γ⃗=(r¨−rθ˙2−rφ˙2sin⁡2θ)e⃗r+(2r˙θ˙+rθ¨−rφ˙2sin⁡θcos⁡θ)e⃗θ+(2r˙φ˙sin⁡θ+2rθ˙φ˙cos⁡θ+rφ¨sin⁡θ)e⃗φ\begin{aligned} \vec{\gamma} &= \ddot{r}\vec{e}_r + \dot{r}\dot{\vec{e}}_r + \dot{r}\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\ddot{\theta}\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}\dot{\vec{e}}_\theta + \dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi + r\ddot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\sin\theta\,\dot{\vec{e}}_\varphi \\ \vec{\gamma} &= \ddot{r}\vec{e}_r + \dot{r}(\dot{\theta}\vec{e}_\theta + \dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi) + \dot{r}\dot{\theta}\vec{e}_\theta + r\ddot{\theta}\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}(-\dot{\theta}\vec{e}_r + \dot{\varphi}\cos\theta\,\vec{e}_\varphi) + \dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi \\ &\quad + r\ddot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{e}_\varphi + r\dot{\varphi}\sin\theta(-\dot{\varphi}\sin\theta\,\vec{e}_r - \dot{\varphi}\cos\theta\,\vec{e}_\theta) \\ \vec{\gamma} &= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\dot{\varphi}^2\sin^2\theta)\vec{e}_r + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta} - r\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta)\vec{e}_\theta + (2\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + 2r\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos\theta + r\ddot{\varphi}\sin\theta)\vec{e}_\varphi \end{aligned}

  4. Mouvement circulaire {ρ(t)=Rφ(t)=ωt\begin{cases} \rho(t) = R \\ \varphi(t) = \omega t \end{cases} :

    OM→(t)=ρe⃗ρ=Re⃗ρv⃗(t)=Re⃗˙ρ=Rφ˙e⃗φorφ˙=ω\overrightarrow{OM}(t) = \rho\vec{e}_\rho = R\vec{e}_\rho \qquad \vec{v}(t) = R\dot{\vec{e}}_\rho = R\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi \quad \text{or} \quad \dot{\varphi} = \omega

    donc v⃗=Rωe⃗φ\vec{v} = R\omega\vec{e}_\varphi : la vitesse est tangentielle à tout moment. γ⃗(t)=Rωe⃗˙φ=−Rωφ˙e⃗ρ\vec{\gamma}(t) = R\omega\dot{\vec{e}}_\varphi = -R\omega\dot{\varphi}\vec{e}_\rho, donc γ⃗(t)=−Rω2e⃗ρ\vec{\gamma}(t) = -R\omega^2\vec{e}_\rho : accélération centrale.

SC2​

  1. Rayon ρ\rho ; angle polaire φ\varphi ; distance zz.

  2. {x=ρcos⁡φy=ρsin⁡φz\begin{cases} x = \rho\cos\varphi \\ y = \rho\sin\varphi \\ z \end{cases}

  3. e⃗u=∂OM→/∂u∥∂OM→/∂u∥\vec{e}_u = \dfrac{\partial\overrightarrow{OM}/\partial u}{\|\partial\overrightarrow{OM}/\partial u\|}, {e⃗ρ=cos⁡φ e⃗x+sin⁡φ e⃗ye⃗φ=−sin⁡φ e⃗x+cos⁡φ e⃗ye⃗z\begin{cases} \vec{e}_\rho = \cos\varphi\,\vec{e}_x + \sin\varphi\,\vec{e}_y \\ \vec{e}_\varphi = -\sin\varphi\,\vec{e}_x + \cos\varphi\,\vec{e}_y \\ \vec{e}_z \end{cases}

  4. OM→=ρe⃗ρ+ze⃗z\overrightarrow{OM} = \rho\vec{e}_\rho + z\vec{e}_z.

  5. {ρ(t)=Rφ(t)=ωtz(t)=λωt\begin{cases} \rho(t) = R \\ \varphi(t) = \omega t \\ z(t) = \lambda\omega t \end{cases}, avec RR, ω\omega, λ\lambda constantes.

    a) v⃗=ρ˙e⃗ρ+ρe⃗˙ρ+z˙e⃗z=O⃗+ρφ˙e⃗φ+z˙e⃗z=Rωe⃗φ+λωe⃗z\vec{v} = \dot{\rho}\vec{e}_\rho + \rho\dot{\vec{e}}_\rho + \dot{z}\vec{e}_z = \vec{O} + \rho\dot{\varphi}\vec{e}_\varphi + \dot{z}\vec{e}_z = R\omega\vec{e}_\varphi + \lambda\omega\vec{e}_z.

    b) γ⃗=ddt(Rωe⃗φ+λωe⃗z)=Rωe⃗˙φ=−Rωφ˙e⃗ρ=−Rω2e⃗ρ\vec{\gamma} = \dfrac{d}{dt}(R\omega\vec{e}_\varphi + \lambda\omega\vec{e}_z) = R\omega\dot{\vec{e}}_\varphi = -R\omega\dot{\varphi}\vec{e}_\rho = -R\omega^2\vec{e}_\rho.

    c) Première méthode : tan⁡α=vzvφ=λωRω=λR⇒α=tan⁡−1(λR)\tan\alpha = \dfrac{v_z}{v_\varphi} = \dfrac{\lambda\omega}{R\omega} = \dfrac{\lambda}{R} \Rightarrow \alpha = \tan^{-1}\left(\dfrac{\lambda}{R}\right).

    Deuxième méthode : v⃗.e⃗φ=∥v⃗∥∥e⃗φ∥cos⁡(v⃗,e⃗φ)=∥v⃗∥cos⁡(v⃗,e⃗φ)\vec{v}.\vec{e}_\varphi = \|\vec{v}\|\|\vec{e}_\varphi\|\cos(\vec{v}, \vec{e}_\varphi) = \|\vec{v}\|\cos(\vec{v}, \vec{e}_\varphi), donc

    cos⁡α=v⃗.e⃗φ∥v⃗∥=RωR2ω2+λ2ω2=RR2+λ2=11+(λ/R)2doncα=cos⁡−1(11+(λ/R)2)\cos\alpha = \frac{\vec{v}.\vec{e}_\varphi}{\|\vec{v}\|} = \frac{R\omega}{\sqrt{R^2\omega^2 + \lambda^2\omega^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \lambda^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\lambda/R)^2}} \qquad \text{donc} \qquad \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1 + (\lambda/R)^2}}\right)
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