Filtrage et détection de contour

Cours

Filtrage linéaire / non linéaire

Filtres linéaires

Produit de convolution : $I'(i,j) = \sum \limits_{(u,v) \in H} I(i+u, j + v) . H(u,v)$, $H$ centré sur $(i,j)$

• H : représente la fonction à appliquer (Box, Gaussienne, Laplacien)
• Efficacité : utiliser des coefficients entiers + un paramètre de normalisation
• Filtre Gaussien : influence des voisins plus ou moins proche, $\sigma$ et taille du support: contrôle de filtrage

Filtres non linéaires

Filtre médian : $I'(i,j) = median\\{I(i+u, j+v) \\| (u,v) \in H\\}$, $H$ : voisinage autour de $(i,j)$. Débruitge et "respect" des principales structures. Élimination des points isolés et des lignes fines, préservation des contours en "marche d'escalier" et lissage des coins.

Filtres min/max : $I'(i,j) = min \\/ max \\{I(i + u, j + v) \\| (u,v) \in H \\}$

Filtre bilatéral

Mélanger l'influence sptiale et colorimétrique. Pour un pixel $p = (i,j) \in I$, un pixel $q = (u,v) \in V(p)$ $I'(p) = \dfrac{\sum \limits_{q \in V(p)} G_s(\\|p-q\\|). G_c(\\|I(p) - I(q)\\|).I(q)}{\sum \limits_{q \in V(p)} G_S(\\|p-q\\|).G_c(\\|I(p) - I(q)\\|)}$

$G_*(x) = \exp(-\dfrac{x^2}{2 \sigma^2}) \rightarrow [0,1]$ si, $x \rightarrow + \infty \Rightarrow G_* (x) \rightarrow 0$, si $x \rightarrow 0 \Rightarrow G_*(x) \rightarrow 1$

Interprétation

Si $G_S(.) = G_C(.) = 1$ alors I'(p) = \dfrac{\sum \limits_{q \in V(p) I(q)}}{\sum \limits_{q \in V(p)^1}} = \dfrac{\sum \limits_{q \in V(p)} I(q)}{\\#\\{V(p)\\}} c'est à dire un filtre moyenneur

• $G_S(\\|p-q \\|) :$ pondération spatiale, un voisin proche spatialement contribue plus qu'un éloigné
• $G_C(\\|I(p) - I(q)):$ pondération colorimétrique, un voisin proche en valeur contribue plus qu'un éloigné. La préservation des différentes intensités permet d'indentifier les contours

NL Means

Détection du contour par le passage à zéro de la dérivée seconde. Utilisation du laplacien : $\Delta f(x) = (\nabla^2 f)(x) = \partial^2_x f(x) = \partial_x(\partial_x f(x))$. Approximation discrète du Laplcien $$\Delta \Delta I(i,j) = \partial^2_i I(i,j) + \partial^2_j(i,j)$.

Filtre passe bas / haut 2D

C'est un filtre idéal pour une fréquence de coupure $D$.

$H_L(u,v) = \begin{cases} 1 \\; \text{si} \\; \sqrt{u^2 + v^2} \leq D \\\\ 0 \\; \text{si} \\; \sqrt{u^2 + v^2} > D \end{cases} \quad H_H(u,v) = \begin{cases} 1 \\; \text{si} \\; \sqrt{u^2 + v^2} \leq D \\\\ 0 \\; \text{si} \\; \sqrt{u^2 + v^2} > D \end{cases}$

• Plus $D$ est grand, plus on ne récupère que les contours et le bruit

• Plus $D$ est petit, plus on perd du signal utile (l'image)

• Filtre de Butterworth : $H_{LB}(u) = \dfrac{1}{1 + (\dfrac{u}{D})^{2n}} \quad H_{HB}(u) = \dfrac{1}{1 + (\dfrac{D}{u})^{2n}}$

• Filtre Gaussien : $H_{LB}(u,v) = \dfrac{1}{2\pi\sigma}\exp(-\dfrac{u^2 + v^2}{2 \sigma^2}) \quad H_{HB}(u,v) = 1 - H_{LG}(u,v)$

• Filtres rejet / passe bande : $H_{BR}(u,v) = \dfrac{1}{1+\dfrac{w \sqrt{u^2 + v^2}}{((u^2+v^2)-r^2)^{2n}}} \quad H_{BP}(u,v) = 1 - H_{BR}(u,v)$ avec $r$ le rayon et $w$ la largeur de la bande

Dérivées premières et fonctions discrètes

Les contours impliquent des grandes valeurs de la dérivée $f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}$ (Opérateurs du 1er ordre). L'approximation des dérivées (pente) utilise des points de droite et de gauche. Plusieurs approximations sont possibles

• Différence à droite (forward) $\partial^+ f(u) = f(u+1) - f(u)$
• Différence à gauche (backward) $\partial^- f(u) = f(u) - f(u-1)$
• Différence centrée (moyenne) $\partial f(u) = \dfrac{f(u+1) - f(u-1)}{2}$

Pour une image 2D discrète $I$, le gradient $\nabla I(i,j)$ localisé au point $(i,j)$ est le vecteur :

• $\nabla I(i,j) = [\partial_i I(i,j) \\; \partial_j I(i,j)]^T$
• Magnitude du gradient (sa norme) $||\nabla I(i,j)||_2 = \sqrt{(\partial_i I(i,j))^2 + (\partial_j I(i,j))^2}$
• Direction du gradient : $\phi(I(i,j)) = \tan^{-1} (\dfrac{\partial_i I(i,j)}{\partial_j I(i,j)})$

Différences finies par convolution et moyenneur

• Différence à droite : $\partial^+ f(u) = f(u+1) - f(u)$ si $H^+ = [0 \\; -1 \\; 1]$
• Différence centrée : $\partial f(u) = \dfrac{f(u+1) - f(u-1)}{2} \\; H^+ = [ -1 \\; 0 \\; 1 ] \rightarrow \partial f(u) = f(u) \ast H$. Les différences finies sont sensibles au bruit. Le bruit peut être vue comme un point de contour, il faut donc coupler la différentiation avec un filtrage.
• Détecteur de Prewitt : $H_h^P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{pmatrix}_ v \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}_ h \\; H_v^P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{pmatrix}_v \otimes \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}_h$
• Détecteur de Sobel : $H_h^S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{pmatrix}_ v \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}_ h \\; H_v^S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{pmatrix}_v \otimes \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}_h$

Autres approches : dérivées secondes

Détection du contour par le passage à zéro de la dérivée seconde. Pour cela on utilise le laplacien $\Delta f(x) = (\nabla^2 f)(x) = \partial^2_x f(x) = \partial_x(\partial_x f(x))$. Son approximation discrète est $\Delta I(i,j) = \partial^2_i I(i,j) + \partial^2_j I(i,j)$.

Amélioration : filtre passe bas

L'idée est de filter l'image par une Gaussienne $G_\sigma$ de largeur $\sigma$. Le Laplacien de $I$ filtré par $G_\sigma$. Le Laplacien de $I$ filtré par $G_\sigma$ devient $I \times G_\sigma \times \Delta = I \times (\Delta \times G_\sigma) = I \times \Delta G_\sigma$, cela revient à convoluer directement $I$ avec le Laplacien de $G_\sigma$ (LoG). La convolution avec une Gaussienne large rend l'image floue et les contours sont perdus.

Schéma classique d'extraction de contours :

• calculer le gradient ($\nabla$) ou le Laplacien ($\Delta$)
• localiser les maxima locaux de la norme du gradient ou le passage à zéro du Laplacien
• un seuillage permet d'avoir la carte binaire de contour mais il y a un risque de déconnexion des contours (améliorable via des algorithmes de re-chaînage)
• utilisation des contours dans d'autres applications

Mise en pratique

median-filter <r> <ims> <imd>

Écrire le programme median-filter.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• l'image source est considérée comme une image en niveaux de gris
• le programme réalise le filtrage médian où la fenêtre de recherche de taille $(2r + 1 \times 2 r +1)$ est déterminée par le paramètre <r>
• sauver le résultat dans l'image <imd>
• comparer avec la fonction medianBlur
• visualiser avec pvisu les différents résultats

bilateral <sigma_s> <sigma_g> <ims> <imd>

Éviter le programme bilateral.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• l'image source est considérée comme une image en niveaux de gris
• le programme réalise le filtrage bilatéral
• le paramètre <sigma_g> permet de calculer la Gaussienne pour la pondération sur les intensités et ̀<sigma_s> celle pour la pondération des distances. On pourra pré-calculer ces coefficients et seuiller celle sur les distances afin de déterminer la taille du voisinage : $G_{\sigma_s}(x) = \exp(-x^2 / 2 \sigma^2_s) \leq s$, par exemple $s=0.1$
• le programme sauve l'image ̀<imd>
• comparer les résultats avec la fonction ̀bilateralFilter`
• visualiser avec pvisu les différents résultats

nl-means <sigma> <ims> <imd>

Écrire le programme nl-means.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>̀
• l'image source est considérée comme une image en niveaux de gris
• le programme réalise le filtrage par moyenne non locales
• le paramètre <sigma> permet de calculer les poids associés aux patchs
• les autreus donnent des paramètres empiriques : une fenêtre de recherche de taille $11 \times 11$ et des patchs $7 \times 7$
• le programme sauve l'image <imd>
• visualiser avec pvisu les différents résultats

fourier <ims> <freq>

Écrire le programme fourrier.cpp

• ce programme permet de charger une image donnée en paramètre <ims>
• le programme réalise la transformée de Fourier directe (fonction dft)
• affiche le spectre d'amplitude et de phase (centrés) et la sauve dans les fichiers magnitude.png et phase.png
• le programme réaliser un filtrage dans le domaine de Foourier et annule (de manière symétrique) la fréquence <freq> donnée en paramètre
• sauve le spectre d'amplitude modifié dans un fichier ̀magnitude-modify.png` afin d'observer l'annulation des fréquences
• le programme réalise la transformée de Fourier inverse et sauve le résultat dans le fichier inverse.png
• visualiser avec pvisu les différents résultats