Le monde quantique
Introduction des idées de base de la mécanique quantique
La mécanique quantique étudie des phénomènes fondamentaux à l'oeuvre dans des systèmes physique de petites échelles (ex : échelle atomique). Hors cela provoque donc des profondes difficultés conceptuelles.
- La dualité onde-corpuscule avec la longueur d'onde de Broglie avec la constante de plank et l'impulsion du corpuscule
- La superposition
- L'intrication quantique
Produit scalaire
soit un espace vectoriel dans . Le produit scalaire sur est une application.
Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes :
-
Linéarité à droite
-
Anti-linéarité à gauche
-
Symétrie hermitienne
-
Positivité
-
Non-dégéneresence : si , alors .
On appele un espace pré-herlbertien tout espace vectoriel sur muni d'un produit scalaire qui vérifie les propriétés ci-dessus. Un espace de Hilbert est un espace pré-hilbertien pour lequel on peut définir une norme qui découle du produit scalaire
est l'espace de formes linéaires sur
Base orthonormée de
admet une base orthonormée c'est à dire une famille de vecteurs est une base tel que .
Fixons une base orthonormée sur . Si ont pour coordonnées
dans cette base alors
On peut donc déduire
Application
Application adjointe
Soit une application linéaire . L'application adjointe est défini par Si est la matrice de dans une base orthonormée, alors la matrice de est
Application hermitienne
est hermilitien si et seulement si
cela revient à dire que , ou bien, si est la matrice de dans ne base orthonormée, alors
Notion de Dirac
On note les vecteurs de (les états) : KETS.
Ensuite on note les duals (formes linéaires) : BRAS.
Autrement dit, on utilise un alphabet où chaque lettre de type est un élément de et chaque lettre de type est un élément de . Entre les deux alphabets il existe une bijection . On parle de braket.
Opérateurs
Soit la notation signifie : la forme appliquée à l'argument . Si nous déplaçons la parenthèse, on a , cela signifie la forme appliquée à l'argument . Le résultat étant le même, indépendamment des parenthèses choisit.
Applications linéaires
est un opérateur :
Décomposition d'opérateurs
Si une base orthonormée de vecteurs propres de l'opérateur . alors
Produit tensoriel
La forme associée au vecteur est
Exercice
Soit un espace vectoriel et soit une base de () et soit les vecteurs .
- Quels sont les vecteurs de la base de l'espace produit tensoriel
- Trouver le vecteur
Postulats de la mécanique quantique
Principe de superposition
L'état d'un système quantique est défini par un vecteur (un ket) qui est une combinaison linéaire, avec des coefficients complexes, d'états de base.
Principe de correspondance
Les observables physiques (c'est à dire les "choses qu'on mesure") sont représentées par des opérateurs mathématiques, appelés observables
Principe de quantification
Les mesures ne peuvent pas donner d'autres résultats que ceux qui correspondent ) des valeurs propres de ces opérateurs mathématiques. Les vecteurs propres qui correspondent à ces valeurs propres forment une base de l'espace des états du système.
Avec l'observable, le vecteur propre et la valeur propre
Règle de Born - principe de décomposition spectrale
Les calculs mathématiques fournissent la probabilité d'observer tel ou tel résultat de mesure. La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable , effectué sur l'état quantique , donne le résultat avec la probabilité
Principe de réduction du paquet d'onde
La mesure modifie l'état du système quantique mesuré de manière à faire disparaître les probabilités qui ne sont pas réalisées.
Postulat VI - equation de Schrödinger
L'évolution dans le temps du système quantique est donnée par l'équation de Schrödinger : l'état de tout système quantique est une solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps
où est l'Hamiltonien du système.
Retour sur le qubit
La différence essentielle avec l'état classique 0/1 est que le qubit peut se trouver dans d'autres états (une infinité) que les états ou . tout état de la forme
où et sont deux nombres complexes , est accessible au qubit). L'état du qubit est un vecteur d'un espace vectoriel complexe de dimension 2 dans lequel les éléments et forment une base.
De plus, une fois qu'il a été mesuré, l'état du qubit est projeté dans l'état correspondant au résultat de la mesure. Par exemple si le qubit, originellement dans l'état , est mesuré et que le résultat est 1, le qubit se trouvera alors projeté dans l'état et toute nouvelle mesure donnera immanquablement le résultat 1.
Ce qui constitue la base du calcul quantique c'est de modifier l'état du qubit, en lui appliquant des portes logiques ou en l'associant à un ou plusieurs autres qubits, sans le mesure, c'est à dire sans le projeter sur les états ou . C'est seulement à la fin du calcul que le qubit est lu et si l'algorithme est bien choisi le processus de projection que réalise la mesure finale du qubit permet d'extraire l'information recherchée.
Réalisation d'un qubit - états internes d'un atome
On considère deux niveaux de l'atome :
- le niveau fondamental : c'est celui de plus basse énergie, l'état quantique de l'atome est (ground state) et son énergie .
- le premier niveau excité : l'état atomique est noté et son énergie .
Si on envoit sur l'atome dans son état fondamental un photon d'énergie exactement le photon est absorbé par l'atome qui passe dans le niveau excité
Les énergies mises en jeu à l'échelle atomique sont de l'ordre de l'électron volt (), le rayonnement lumineux associé au photon a une longueur d'onde où est la vitesse de la lumière ( et la constante de Planck (, l'ordre de grandeur des longueurs d'onde correspondant aux énergies atomiques de l'ordre d'un eV est entre et ; c'est le domaine de la lumière visible.
L'atome revient dans son état fondamental au bout d'un temps moyen appelé durée de vie du niveau excité, en émettant un photo de même énergie (émission spontanée). La durée de vie d'un niveau atomique varie de quelques nanosecondes à la seconde.
Si on envoie un photon d'énergie sur l'atome quand il est encore dans l'état excité l'atome va se désexciter en émettant un photon à la même énergie - émission induite.
Supposons qu'on éclaire continuellement l'atome avec cette radiation lumineuse composée de photons d'énergie (radiation résonante), l'atome va osciller entre l'état à l'état . A l'instant il sera dans un état de superposition
l'atome est un qubit : on associe à l'état l'état et à l'état l'état .
Pour mesurer l'état de l'atome à un moment donné on envoie sur celui-ci une impulsion laser "accordée" sur une transition qui n'a pas d'équivalent à partir de l'état . Si le photon est absorbé c'est que le système est dans l'état sinon il est dans l'état .
Réalisation d'un qubit - polarisation d'un photon
Une onde électromagnétique, la lumière par exemple, peut être représentée mathématiquement par un champ vectoriel transverse, ie orthogonal à la direction de propagation. Dans un référentiel , de coordonnées , choisi tel que l'onde se propage selon l'axe des , le champ électrique est décrit par
où . Le vecteur , vu comme un nombre complexe, définit la polarisation de l'onde. L'intensité de l'onde est proportionnelle au module au carré de $E_0 : || E_O ||^2.
La polarisation peut être mise en évidence à l'aide de cristaux ayant une propriété optique particulière : la biréfringence. Si nous envoyons sur une lame biréfringente un faisceau d'intensité , polarisé linéairement suivant une direction qui fait un angle avec l'axe ordinaire du cristal qu'on prend comme axe : le faisceau est séparé en un faisceau polarisé suivant d'intensité