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Automates finis et langages - Expression régulières et théorème de Kleene

Grâce au chapitre précédent nus pouvons représenter xx par un mot, l'algorithme par un automate fini, mais comment représenter L\mathcal{L} ? S'il est fini, il suffit d'énumérer tous les mots qui le composent, mais que faire quand il est infini ?

Langages réguliers​

Nous introdusions tout d'abord les opérateurs ensemblistes nécessaires à la définition des langages réguliers. L'union, l'intersection et la complémentation son bien évidemment définies comme pour tout autre ensemble : por tous langages L1L_1 et L2L_2

  • L1∪L2={ω∣ω∈L1  ou  ω∈L2}L_1 \cup L_2 = \{\omega | \omega \in L_1 \; \text{ou} \; \omega \in L_2\} est l'union de L1L_1 et L2L_2
  • L1∩L2={ω∣ω∈L1  et  ω∈L2}L_1 \cap L_2 = \{\omega | \omega \in L_1 \; \text{et} \; \omega \in L_2\} est l'intersection de L1L_1 et L2L_2
  • L1‾={ω∣ω∈Σ∗  et  ω∉L1}\overline{L_1}=\{\omega | \omega \in \Sigma^\ast \; \text{et} \; \omega \notin L_1\} est le complément de L1L_1

La concaténation d'un langage L2L_2 à un langage L1L_1 est le langage L1⋅L2={ω1⋅ω2∣ω1∈L1  et  ω2∈L2}L_1 \cdot L_2 = \{\omega_1 \cdot \omega_2 | \omega_1 \in L_1 \; \text{et} \; \omega_2 \in L_2 \}.

La fermeture de Kleene d'un langage LL est la langage : L1∗=⋃i≥0L1iL_1^\ast=\bigcup \limits_{i \geq 0} L_1^i avec {L10={ε}L1n=L1⋯L1n−1\begin{cases} L_1^0 = \{\varepsilon\} \\ L_1^n = L_1 \cdots L_1^{n-1} \end{cases}, il définit le langage des mots qui sont des concaténations arbitraiirement longues (ie non bornées) de mots de LL.

L'ensemble des langages réguliers sur un alphabet Σ\Sigma est défini par

  1. ∅\emptyset et {ε}\{\varepsilon\} sont des langages réguliers
  2. {s}\{s\} est un langage régulier, pour tout s∈Σs \in \Sigma
  3. si L1L_1 et L2L_2 sont des langages réguliers, alors L1∪L2L_1 \cup L_2,L1⋅L2L_1 \cdot L_2 et L1∗L_1^\ast sont des langes réguliers.

Si L1L_1 et L2L_2 sont deux langages réguliers, alors

  • L1‾=Σ∗\L1\overline{L_1} = \Sigma^\ast \backslash L_1, le complémentaire de L1L_1 est un langage régulier
  • L1∩L2L_1 \cap L_2 est un langage régulier

Expressions régulières​

Nous introduisons maintenant une notation algébrique des langages.

L'ensemble des expressions régulières sur un alphabet Σ\Sigma est défini par

  1. ∅\varnothing, ϵ\epsilon et ss, quel que soit s∈Σs \in \Sigma sont des expressions régulières
  2. Si α\alpha et β\beta sont deux expressions régulières, alors (α+β)(\alpha + \beta), αβ\alpha \beta et (α)⋆(\alpha)^\star sont des expressions régulières

Il est à noter que ∅\varnothing diffère de ∅\emptyset, que ϵ\epsilon diffère de ε\varepsilon et que ()⋆()^\star diffère de ()∗()^\ast. Nous veron par la suite ce que ces notations décrivent les mêmes objets, mais dans deux algèbres différentes : respectivement les expressions régulières et les langages réguliers.

Le langage d'une epxression régulière est défini par

  1. L(∅)=∅\mathcal{L}(\varnothing) = \emptyset et L(ϵ)={ε}\mathcal{L}(\epsilon)=\{\varepsilon\}
  2. L(s)={s}\mathcal{L}(s)=\{s\} quel que soit s∈Σs \in \Sigma
  3. L((α+β))=L(α)∪L(β)\mathcal{L}((\alpha+\beta))=\mathcal{L}(\alpha) \cup \mathcal{L}(\beta).
  4. L(αβ)=L(α)⋅L(β)\mathcal{L}(\alpha \beta)=\mathcal{L}(\alpha) \cdot \mathcal{L}(\beta).
  5. L(a⋆)=(L(α))∗\mathcal{L}(a^\star)=(\mathcal{L}(\alpha))^\ast.

Quelques propriétés des expressions régulières

  • La somme est commutative et associative
  • La concaténation est associative mais non commutative
  • La concaténation est distributive à gauche et à droite.
  • L'expression ∅\varnothing est l'élément neutre pour la somme ∅+α=α=α+∅\varnothing + \alpha = \alpha = \alpha + \varnothing et l'élement absorbant pour la concaténation ∅α=∅=α∅\varnothing \alpha = \varnothing = \alpha \varnothing
  • L'expression ϵ\epsilon est l'élément neutre pour la concaténation ϵα=α=αϵ\epsilon \alpha = \alpha = \alpha \epsilon
  • Enfin l'étoile de kleen est prioritaire sur la concaténation qui est elle même prioritaire sur la somme

Théorème de Kleene​

Nous montrons maintenant un lien fondamental entre els automates finis, les langages réguliers et les expressions régulières.

Théoreme Les trois proposition suivantes sont équivalentes pour tout langage LL

  1. LL est accepté par un automate fini
  2. LL est un langage régulier
  3. LL est représentable par une expression régulière

Le théorème de Kleene est fondamental car il fait le lien entre l'algèbre (ie les expressions régulières) et le calcul (les automates finis) unifiant ainsi ces deux approches de la théorie des langages

Théorème de Kleene Un langage est régulier si et seulement s'il est reconnu par un automate fini

Des langages réguliers aux expressions régulières​

Nous montrons tout d'abord que les langages réguliers peuvent être représentés par des expressions régulières.

Lemme Tout langage régulier est représenté par une expression régulière

Lemme Tout langage représenté par une expressions régulière, est un langage régulier

Les preuves sont disponibles dans polycopié de cours page 22.

Des expressions régulières aux automates finis​

Lemme Pour toute expression régulière α\alpha nous pouvons calculer un automate fini AA tel que L(α)=L(A)\mathcal{L}(\alpha)=\mathcal{L}(A). La preuve est disponible dans le polycopié de cours page 22 à 25.

Notons qu'en corollaire de cette preuve nous avons une procédure effective pour calculer les opérations d'union, de concaténation et de fermeture de Kleene sur des langages réguliers, directement sur les automates qui les acceptent. Nous remarquons en outre que les automates construits par cette procédure sont non-déterministes puisqu'ils contiennent des transitions étiquetées ε\varepsilon.

Des automates finis aux expressions régulières​

Le lemme suivant montre que pour tout automate fini, il est possible de construire une expression régulière qui représente le langage accepté par cet automate.

Lemme Pour tout langage accepté par un automate fini AA nous pouvons calculer une expression régulière α\alpha telle que L(A)=L(α)\mathcal{L}(A) = \mathcal{L}(\alpha)

La preuve est disponible dans le polycopié page 26

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