Qubits et mécanique quantique

Qubits et observables

Les états du système quantique associé à un qubit sont les éléments d'un espace à deux dimensions, engendré par les états de base $\vert 0 \rangle$ et $\vert 1 \rangle$. Tout état sera donc de la forme

$\vert \psi \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle$

On retrouve donc la spécificité des qubits : pouvoir se trouver dans un état de superposition. Les coefficients $\alpha$ et $\beta$ sont des amplitudes de probabilité et doivent satisfaire

$\vert \alpha \vert^2 + \vert \beta \vert^2 = 1$

Un état quantique peut être représenté :

1. par une fonction $\psi(r,t)$ (formalisme des fonctions d'onde et de la mécanique ondulatoire) ;
2. par un vecteur colonne (notamment dans le cas d'espaces de dimension finie).

Les états $\vert 0 \rangle$ et $\vert 1 \rangle$ sont les états propres d'une grandeur observable. Si le système physique est un atome, l'observable est l'énergie de l'atome et les états $\vert 0 \rangle$ et $\vert 1 \rangle$ correspondent aux états $\vert g \rangle$ et $\vert e \rangle$ (état fondamental et premier état excité) de l'atome. Dans le cas où le système quantique est un photon, l'observable est la polarisation, qui peut prendre les deux états $\vert x \rangle$ et $\vert y \rangle$. Comme ces états forment une base de l'espace des états $\mathcal{E}$ du qubit, on a $\forall \vert \psi \rangle \in \mathcal{E},\ \vert \psi \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle$. Si le système est dans l'état $\vert \psi \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle$, le résultat de la mesure est obtenu avec une probabilité dont l'amplitude est définie par :

• $\alpha = \langle 0 \vert \psi \rangle$ : amplitude de probabilité d'obtenir l'état $\vert 0 \rangle$ ;
• $\beta = \langle 1 \vert \psi \rangle$ : amplitude de probabilité d'obtenir l'état $\vert 1 \rangle$.

Manipulations de qubits

La mesure altère en général l'état d'un qubit, puisqu'il en sort nécessairement dans un état propre de l'observable mesurée. En revanche, on peut agir sur le qubit pour faire évoluer son état (évolution unitaire) tant qu'aucune mesure (aucune « prise d'information ») n'est réalisée.

Opérations logiques sur un qubit

Nous allons associer à l'évolution de l'état du qubit les opérations logiques nécessaires à la mise en œuvre des algorithmes.

Portes logiques classiques

Par exemple, les portes logiques classiques agissant sur un bit sont résumées dans le tableau ci-dessous :

Porte logique	0	1
EFFACE	0	0
IDENTITÉ	0	1
NON	1	0
SET	1	1

Pour les qubits, toute matrice unitaire $2 \times 2$ est susceptible de représenter une porte logique à un qubit. Différence avec les bits classiques : il existe donc une famille continue de transformations, représentées par les matrices unitaires.

Exemples - l'opérateur NOT

L'opérateur NON est représenté par la matrice carrée

$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Exemples - la porte Y

La porte $Y$ est définie par la matrice

$Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$

Exemples - la porte Z (inversion de phase)

La porte $Z$ est définie par la matrice

$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Exemples - la porte de phase $R_\phi$

La porte $R_\phi$ est définie par la matrice

$R_\phi = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \phi} \end{pmatrix}$

Effet : rotation de la phase du vecteur $\vert 1 \rangle$ d'un angle $\phi$ : $R_\phi \vert 0 \rangle = \vert 0 \rangle$, $R_\phi \vert 1 \rangle = e^{i \phi} \vert 1 \rangle$.

Exemples - la porte de Hadamard

Porte particulièrement importante en informatique quantique. La porte de Hadamard est définie par la matrice

$$H = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(X+Z) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

On a : $\vert 0 \rangle \rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle)$, $\vert 1 \rangle \rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle)$.

Si on applique $H$ à l'état initial $\vert 0 \rangle$ ou à l'état initial $\vert 1 \rangle$ et qu'on mesure ensuite, on a des probabilités égales de trouver $\vert 0 \rangle$ ou $\vert 1 \rangle$.

Interférence : la porte de Hadamard produit un effet analogue à l'interférence des ondes.

$$H \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle) \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0 \rangle + \dfrac{1}{\sqrt{2}} H \vert 1 \rangle = \dfrac{1}{2}(\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle + \vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle) = \vert 0 \rangle$$